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Travaux pratiques de physique
Calcul d'erreur § 3
Utilisation de Mathematica et du package CalculErreur

Exemple 2
Indice de réfraction

par Marcel Délèze, Collège du Sud - CH 1630 Bulle

Il est conseillé de lire l'aide

aide["CalculErreur"]

1. Partie théorique

1.1 Buts de l'expérience

1.	On dispose d'un prisme de verre. Mesurer l'angle ϕ du prisme.

2.	Montrer que l'indice de réfraction n dépend de λ .
	Dresser la courbe de dispersion n(λ).
	On dispose d'une tabelle des longueurs d'ondes λ en fonction des couleurs de la lumière.

1.2 Principe de mesure

Sur un prisme de verre dont l'angle est ϕ, on mesure l'angle minimal de déviation δ.
	[à compléter ...]

Notations : symboles [et unités]

ϕ		angle du prisme [en degrés]
	φ2, φ1		angles des normales aux deux faces du prisme  [en degrés]
	
	λ		longueur d'onde de la lumière [en nanomètres]
	αl, αr		angles minimaux de déviation, à gauche, respectivement à droite [en degrés]
	δ		angle minimal de déviation [en degrés]
	n		indice de réfraction [nombre pur]

Relations:

ϕ = 180 - (φ2-φ1)
			δ=((αr - αl)/2)
			n=((sin(((δ+ϕ)/2)))/(sin((ϕ/2))))

2. Partie expérimentale

2.1 Dispositif expérimental

[à rédiger ...]

2.2 Marche opératoire

[à rédiger ...]

Mesure effectuées : joindre le rapport rempli durant la séance de travaux pratiques.

3. Résultats

3.0 Initialisations

<<CalculErreur`

<<Tableaux`

Il est conseillé de protéger les variables indépendantes qui interviennent dans le calcul d'erreur :

var={ϕ,φ2, φ1, λ, αl, αr};

protege[var]

Par contre, nous ne protégeons pas les variables δ  et n car nous leur assignerons une expression.

3.1 Tableaux de mesures

Première partie : ϕ

Liste des variables que l'on mesure:

var1={φ2,φ1}

Les mesures sont effectuées dans l'ordre indiqué par les variables; la liste contient plusieurs mesures successives {{φ2,φ1}, {φ2,φ1}, {φ2,φ1}, ...}}

mes1={{230+50/60,110+49/60},
		{230+51/60,110+49/60},
		{230+51/60,110+50/60}}

afficheTableau[None,{"φ2 [°]","φ1[°]"},N[mes1]]

Deuxième partie : n(λ)

var2={λ,αl,αr}

mes2={{579.1,126+45/60,204+11/60},
		{546.1,126+38/60,204+19/60},
		{435.8,125+56/60,205+1/60},
{407.8,125+38/60,205+19/60},
{404.7,125+35/60,205+22/60}};

afficheTableau[None,{"λ [nm]","αl [°]", "αr [°]"},N[mes2]]

3.2 Calcul d'erreur

Première partie :  détermination de ϕ

Définissons l' expression de ϕ

ϕExpr=180-(φ2-φ1)

Calculons les valeurs de ϕ correspondant à chaque mesure:

ϕVal=Flatten[evalF[ϕExpr,var1,mes1]]

Calculons la moyenne et l'écart-type sur la moyenne des valeurs de ϕ:

{ϕM,ΔϕM}=mσ[ϕVal]

Ici, l'écart-type déterminé à partir des fluctuations sur 3 mesures n'est pas un indicateur fiable de l'incertitude sur ϕ. (Rappelons qu'il faudrait plus de 5 valeurs pour se fier à cette incertitude).

A partir de la graduation de l'appareil de mesure, nous admettrons que l'incertitude absolue sur la lecture des angles est de 1 minute. Nous choississons donc comme incertitudes  {Δφ2, Δφ1} =

incert1={1/60,1/60}

Calculons les résultats ϕ avec les incertitudes absolues Δϕ correspondantes :

ϕRes=evalFΔf[ϕExpr,var1,mes1,incert1]

Calculons la moyenne ϕM et l'incertitude sur la moyenne ΔϕM

{ϕM,ΔϕM}=mσ[ϕRes]

L'incertitude absolue sur la valeur moyenne de ϕ, en minutes, est

ΔϕM*60

2-ème partie : détermination de la fonction λ -> n(λ)

Formules:

δ=(αr-αl)/2

nExpr = expression de l'indice de réfraction n :

nExpr=Sin[(δ+ϕ) °/2]/Sin[ϕ °/2]

var2={λ,αl,αr,ϕ};

mesures=prodCart[mes2,{{ϕM}}]

Les valeurs de n sont

nVal=Flatten[evalF[nExpr,var2,mesures]]

Pour chaque variable var2={λ,αl,αr,ϕ}, entrons l'incertitude correspondante incert2={Δλ,Δαl,Δαr,Δϕ} soit 1 degré pour les trois premiers angles et l'écart-type de la moyenne pour ϕ

incert2={0,1/60,1/60,ΔϕM}

Calculons la liste des résultats {n, Δn}

nValErr=evalFΔf[nExpr,var2,mesures,incert2]

3.3 Présentation des résultats

Première partie :  ϕ

afficheTableau[None,{"ϕ [°]", "Δϕ [°]"},resultArrondi[ϕRes]]

Show[graphErr[ϕRes]]

Deuxième partie : n(λ)

abscisses=Transpose[mes2][[1]]

tableau=fusionneLignes[Transpose[{abscisses}],resultArrondi[nValErr]]

afficheTableau[None,{"λ [nm]", "n []", "Δn []"},tableau]

Show[graphErr[abscisses,nValErr]]

4. Conclusion

Comparaison avec une loi théorique

points=Transpose[{abscisses,nVal}]

Courbe théorique : 	formule de GAUCHY dans le cas d'une région normale:
			n (λ) = (Subscript[n, 0]) + (a/(λ^2)) où
			(Subscript[n, 0]) et a sont déterminés par ajustement au sens des moindres carrés.

indiceRefraction=Fit[points,{1,(λ^(-2))},λ]

graphTh=Plot[indiceRefraction,{λ,Min[abscisses],Max[abscisses]}]

Superposons les résultats expérimentaux et la courbe théorique:

Show[graphErr[abscisses,nValErr],graphTh]

Les résultats sont compatibles avec l'hypothèse que, dans l'intervalle des longueurs d'ondes considéré, l'indice de réfraction du verre satisfait à la loi de GAUCHY pour une région normale.