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Signe du déphasage

Comment raisonner pour que le signe du déphasage soit correct ?

Introduction

Considérons la fonction "élever au cube"

c(x)=(x^3)

et comparons les deux fonctions suivantes

(Subscript[f, 1])(x)=c(x)

(Subscript[f, 2])(x)=c(x+1)

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afficheTableau[{"x","(Subscript[f, 1])(x)","(Subscript[f, 2])(x)"},None,{{-2,-1,0,1,2},{,-1,0,1,8},{-1,0,1,8,}}]

Lorsque les arguments de la fonction  c  sont égaux

(Subscript[x, 1])=(Subscript[x, 2])+1     ⟺    -1=(Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 1]) =Δx

alors les deux fonctions sont égales

c((Subscript[x, 1]))=c((Subscript[x, 2])+1 )    ⟺      (Subscript[f, 1])( (Subscript[x, 1]))=(Subscript[f, 2])( (Subscript[x, 2]))

Le vecteur (({{ Δx }, {0}})) représente la translation à appliquer au graphe de (Subscript[f, 1]) pour obtenir le graphe de (Subscript[f, 2]).

Déphasage en trigonométrie

Comparons les deux fonctions suivantes

(Subscript[f, 1])(t)=cos(ω t)

(Subscript[f, 2])(t)=cos(ω t+φ)

Lorsque les phases sont égales (c'est-à-dire lorque les arguments de la fonction  cos  sont égaux)

ω (Subscript[t, 1])=ω (Subscript[t, 2])+φ     ⟺    -φ=ω((Subscript[t, 2])-(Subscript[t, 1]))=ω Δt      ⟺          Δt=((-φ)/ω)

alors les deux fonctions sont égales

cos(ω (Subscript[t, 1]))=cos(ω (Subscript[t, 2])+φ )    ⟺      (Subscript[f, 1])( (Subscript[t, 1]))=(Subscript[f, 2])( (Subscript[t, 2]))

La grandeur  Δt=(Subscript[t, 2])-(Subscript[t, 1])  est appelée décalage temporel. En d'autres termes, c'est la première fonction qui sert de référence.

Le vecteur (({{ Δt }, {0}})) représente la translation à appliquer au graphe de (Subscript[f, 1]) pour obtenir le graphe de (Subscript[f, 2]).
Compte tenu de  T=((2 π)/ω), on a

afficheTableau[{"φ","Δt"},None,{{-π,0,π},{"+(T/2)",0,"-(T/2)"}}]

Déphasage en physique

Comparons les deux fonctions suivantes

(Subscript[f, 1])(t)=sin(ω t+(Subscript[φ, 1]))

(Subscript[f, 2])(t)=sin(ω t+(Subscript[φ, 2]))

En physique, il est d'usage de définir le déphasage comme suit

φ= (Subscript[φ, 1])-(Subscript[φ, 2])

Remarquez que ce choix est différent de celui que nous avons fait dans l'exemple Trigonométrie ci-dessus. Nous allons voir qu'avec ce choix, les signes du déphasage et du décalage temporel sont égaux.

Lorsque les phases sont égales (c'est-à-dire lorque les arguments de la fonction  sin  sont égaux)

ω (Subscript[t, 1])+(Subscript[φ, 1])=ω (Subscript[t, 2])+(Subscript[φ, 2])     ⟺  ω((Subscript[t, 1])-(Subscript[t, 2]))=(Subscript[φ, 2])-(Subscript[φ, 1])=-φ    ⟺          Δt=((-φ)/ω)

alors les deux fonctions sont égales

sin(ω (Subscript[t, 1])+(Subscript[φ, 1]))=sin(ω (Subscript[t, 2])+(Subscript[φ, 2]) )    ⟺      (Subscript[f, 1])( (Subscript[t, 1]))=(Subscript[f, 2])( (Subscript[t, 2]))

La grandeur  Δt=(Subscript[t, 1])-(Subscript[t, 2])  est appelée décalage temporel. En d'autres termes, c'est la deuxième fonction qui sert de référence.

Le vecteur (({{ Δt }, {0}})) représente la translation à appliquer au graphe de (Subscript[f, 2]) pour obtenir le graphe de (Subscript[f, 1]).

afficheTableau[{"φ","Δt"},None,{{-π,0,π},{"+(T/2)",0,"-(T/2)"}}]