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Exercice 2 - S 1          [Facultatif, sans ordinateur]

Démontrez que, si (Subscript[z, 1]), (Subscript[z, 2]) sont deux nombres complexes de module 1, alors

(((Subscript[z, 1])+(Subscript[z, 2]))/(1+(Subscript[z, 1])(Subscript[z, 2])))  ϵ ℝ

Exercice 2 - S 2         [Facultatif, sans ordinateur]

a)	Démontrez la proposition suivante

∀n ϵ (SuperStar[ℕ])       ∀ a,b ϵ ℤ         ∃ c, d ϵ ℤ    tels que    (((a+i b))^n)=c+i d

b)	Démontrez la proposition suivante

∀n ϵ (SuperStar[ℕ])       ∀ a,b ϵ ℤ         ∃ c, d ϵ ℤ    tels que    ((((a^2)+(b^2)))^n)=(c^2)+(d^2)

§ 2-4	Systèmes d'équations linéaires (facultatif)

Dans le § 3, les systèmes d'équations linéaires sur le corps des complexes vont jouer un rôle central. C'est pourquoi nous allons maintenant leur accorder une attention particulière.

Résolution à la main

Soit par exemple à résoudre le système

({{((2/3)-(i/2))x, +((1/3)+i)y, =2-i}, {(1+i)x, +(-1+(1/2)i)y, =1+i}})

La méthode de réduction à la forme triangulaire que nous avons étudiée pour résoudre les systèmes linéaires réels peut aussi être utilisée pour résoudre les systèmes linéaires à coefficients complexes. On commence par choisir le pivot dans la première colonne et, par permutation de lignes, on l'amène à la première ligne.

({{(1+i)x, +(-1+(1/2)i)y, =1+i, |, (-(2/3)+(i/2))}, {((2/3)-(i/2))x, +((1/3)+i)y, =2-i, |, (1+i)}})

La première ligne demeurant inchangée, élininons dans la première colonne, au dessous du pivot

({{(1+i)x, +(-1+(1/2)i)y, =1+i}, {0 x, +((-1+(1/2)i)(-(2/3)+(i/2))+((1/3)+i)(1+i))y, =(1+i)(-(2/3)+(i/2))+(2-i)(1+i)}})

Après avoir effectué les multiplications

({{(1+i)x, +(-1+(1/2)i)y, =1+i}, {0, +(-(1/4)+(i/2))y, ((=11)/6)+((5 i)/6)}})

Le système étant triangulaire, on peut en tirer la valeur des inconnues

y=(((11/6)+((5 i)/6))/(-(1/4)+(i/2)))=((((11/6)+((5 i)/6))(-(1/4)-(i/2)))/((-(1/4)+(i/2))(-(1/4)-(i/2))))=((-(1/24)-((9 i)/8))/(5/16))=-(2/15)-((18 i)/5)

(1+i)x=(1+i)-(-1+(1/2)i)(-(2/15)-((18 i)/5))=-(14/15)-((38 i)/15)

x=((-(14/15)-((38 i)/15))/(1+i))=-(26/15)-((4 i)/5)

La méthode de réduction à la forme triangulaire s'étend aux systèmes de n équations à n inconnues sur n'importe quel corps de nombres, en particulier sur le corps des nombres complexes ℂ.

Résolution avec Mathematica

Une première méthode assez générale consiste a faire appel à Solve[...] ou NSolve[...]

Solve[{((2/3)-(I/2))x+((1/3)+I)y==2-I,(1+I)x+(-1+(1/2)I)y==1+I},{x,y}]

NSolve[{((2/3)-(I/2))x+((1/3)+I)y==2-I,(1+I)x+(-1+(1/2)I)y==1+I},{x,y}]

Une méthode plus spécifique aux systèmes linéaires est la suivante (voir le chapitre  intitulé Systèmes linéaires étudié en troisième année PAM) :

m={{(2/3)-(I/2),(1/3)+I},{1+I,-1+(1/2)I}};MatrixForm[m]

b={2-I,1+I};MatrixForm[b]

LinearSolve[m,b]

NullSpace[m]

Exercice 2- S 3          (facultatif, à la plume et avec Mathematica)

Résolvez dans ℂ le système d'équations

i x - 3 y = 2-3 i
(1+i)x+2 i y=5-i

Exercice 2- S 4     (facultatif, à la plume et avec Mathematica)

Résolvez dans ℂ le système d'équations

(2+i )x +7 y =1+2 i
(1-i)(Overscript[x, —])-i (Overscript[y, —])=4-i

Exercice 2- S 5     (facultatif, à la plume et avec Mathematica)

Résolvez le système donné sous la forme polaire (exponentielle) sur le corps ℂ

({{(5/6)(e^(-i ArcTan[(3/4)]))x, +((Sqrt[10])/3)(e^(i ArcTan[3]))y, =(Sqrt[5])(e^(-i ArcTan[(1/2)]))}, {(Sqrt[2])(e^(i(π/4)))x, +((Sqrt[5])/2)(e^(i(π-ArcTan[(1/2)])))y, =(Sqrt[2])(e^(i(π/4)))}})

Ecrivez les solutions sous la forme polaire (exponentielle).