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§ 2.2 S 1	Solutions de l'équation homogène

Dérivée de l'exponentielle d'une fonction à valeurs complexes

Pour toute fonction f(x)  à variable réelle  x  et à valeurs complexes  f(x)=g(x)+i h(x)  supposée dérivable, on a

(((e^(f(x)))))'=(e^(f(x)))·f'(x)

Démonstration

(e^f)·f' =(e^(g+i h))·((g+i h))'=(e^g)·(e^(i h))·(g'+i h')
=(e^g)·(cos(h)+i sin(h))·(g'+i h')
=(e^g)·((g' cos(h)-h' sin(h))+i (h' cos(h)+g' sin(h)))
=(e^g)g' ·cos(h)-(e^g)·h' sin(h)+i ((e^g)g' ·sin(h)+(e^g)·h' cos(h))
=(((e^g)·cos(h)))'+i (((e^g)·sin(h)))'
=(((e^g)(cos(h)+i sin(h))))'=(((e^g)·(e^(i h))))'=(((e^(g+i h))))'=(((e^f)))'                ■

Solutions à valeurs complexes de l'équation différentielle homogène

Soit l'équation différentielle

y''+2 p y'+ q y=0           (1)

En posant  y(x)=(e^(λ x)), on obtient l'équation caractéristique  (λ^2)+2 p λ+q=0  dont les solutions sont  (Subscript[λ, 1])=-p-(Sqrt[(p^2)-q])  et  (Subscript[λ, 2])=-p+(Sqrt[(p^2)-q]).

Supposons que  (p^2)-q<0  et  posons  ω=(Sqrt[q-(p^2)]). On a  (Subscript[λ, 1])=-p-i ω  et  (Subscript[λ, 2])=-p+i ω.

Vérifions d'abord que  (Subscript[y, 1])(t)=(e^((Subscript[λ, 1]) t))=(e^((-p-i ω) t))  est solution de l'équation  (1). En effet, on a  (Subscript[y, 1])'(t)=(-p-i ω) (e^((-p-i ω) t)),   (Subscript[y, 1])''(t)=(((-p-i ω))^2) (e^((-p-i ω) t)). En remplaçant dans  (1):

(((-p-i ω))^2) (e^((-p-i ω) t))+2 p (-p-i ω) (e^((-p-i ω) t))+ q (e^((-p-i ω) t))=((((-p-i ω))^2) +2 p (-p-i ω)+ q) (e^((-p-i ω) t))=(-(p^2)+q-(ω^2))(e^((-p-i ω) t))=0

La vérification est analogue avec  (Subscript[y, 2])(t)=(e^((Subscript[λ, 2]) t))=(e^((-p+i ω) t)).

Solutions réelles de l'équation différentielle homogène

Théorème

Si  y(x)=u(x)+i v(x)  est solution de l'équation  (1),
alors  u(x)  et  v(x)  sont solutions de  (1).

Démonstration

0=y''+2 p y'+ q y=((u+i v))''+2 p ((u+i v))'+ q (u+i v)=(u''+2 p u'+ q u)+i (v''+2 p v'+ q v)

⟺  {({{u''+2 p u'+ q u=0}, {v''+2 p v'+ q v=0}})                 ■

Application

Des deux solutions à valeurs complexes

(Subscript[y, 1])(t)=(e^((-p-i ω) t))=(e^(-p t))·(e^(-i ω t))=(e^(-p t))(cos(ω t)-i sin(ω t))

(Subscript[y, 2])(t)=(e^((-p+i ω) t))=(e^(-p t))·(e^(i ω t))=(e^(-p t))(cos(ω t)+i sin(ω t))

on tire deux solutions à valeurs réelles

u(t)=(e^(-p t))cos(ω t),            v(t)=(e^(-p t))sin(ω t).

Finalement, la solution générale réelle de l'équation  (1)  peut s'écrire

y(t)=(Subscript[c, 1])·(e^(-p t))cos(ω t)+(Subscript[c, 2])·(e^(-p t))sin(ω t)
          =(e^(-p t))((Subscript[c, 1])·cos(ω t)+(Subscript[c, 2])·sin(ω t))
          =(e^(-p t))·a·cos(ω t-φ)

où  a=(Sqrt[(Subscript[c, 1]^2)+(Subscript[c, 2]^2)])   et  φ=Arg((Subscript[c, 1])+i (Subscript[c, 2])).

§ 2.2 S 2	Forme polaire des oscillatons amorties ((p^2)<q)

Il est possible de reformuler cette solution en écrivant le vecteur suivant en coordonnées polaires

(({{(Subscript[c, 1])}, {(Subscript[c, 2])}}))=a(({{cos(ψ)}, {sin(ψ)}}))              où       0≤a       et     -π<ψ≤π

y(t)=(e^(-p t))(a cos(ψ)cos(ω t)+a sin(ψ)sin(ω t))=a (e^(-p t))(cos(ω t)cos(ψ)+ sin(ω t) sin(ψ))=a (e^(-p t))cos(ω t-ψ)

Vérification:

Clear[a, ψ];ω=(Sqrt[q-(p^2)]);
y[t_]:=a (E^(-p t))Cos[ω t-ψ]

Simplify[y''[t]+2 p y'[t]+q y[t]]