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§ 2.3 S 1	Equation inhomogène pour des données numériques
		Vérification d'une solution particulière

Vérification:

Clear[yp];
yp[t_]:=(g0/(Sqrt[(((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)]))Sin[Ω t-ArcCos[((q-(Ω^2))/(Sqrt[(((q-(Ω^2)))^2)+ (((2 p Ω))^2)]))]]

FullSimplify[(yp''[t]+2 p yp'[t]+q yp[t]-g0 Sin[Ω t])/.{p->3,q->7,g0->4,Ω->2}]

§ 2.3 S 2	Equation inhomogène : calcul d'une solution particulière

On cherche une solution particulière de l'équation inhomogène,  n'importe laquelle, sans se préoccuper de la condition initiale. Dans notre situation, cherchons s'il existe une solution (Subscript[y, part]) qui serait une fonction sinusoïdale de même fréquence que l'excitation. Nous admettons cependant qu'elle puissse être déphasée d'un angle φ par rapport à l'excitation. Pour faciliter les calculs, nous résolvons l'équation complexe

(((Subscript[y, part])))''+2 p(((Subscript[y, part])))'+q (Subscript[y, part])=(Subscript[g, 0]) (e^(i Ω t))                 où    (Subscript[y, part])(t)=a (e^(i (Ω t-φ)))

p, q, (Subscript[g, 0]), Ω   étant donnés, nous déterminons maintenant simultanément les deux nombres
	a= amplitude de l'oscillation et
	φ= déphasage de l'oscillation par rapport à l'excitation.

a (i^2) (Ω^2) (e^(i (Ω t-φ)))+2 p a i Ω (e^(i (Ω t-φ)))+q a (e^(i (Ω t-φ)))=(Subscript[g, 0]) (e^(i Ω t           ))

-a  (Ω^2) (e^(i Ω t ))(e^(-i φ))+2 p a Ω i (e^(i Ω t ))(e^(-i φ))+q a (e^(i Ω t))(e^(-i φ)) =(Subscript[g, 0]) (e^(i Ω t           ))

-a  (Ω^2) +2 p a Ω i +q a =(Subscript[g, 0]) (e^(i φ           ))

a((q- (Ω^2)) +i (2 p Ω))=(Subscript[g, 0]) (e^(i φ           ))

En supposant que a et (Subscript[g, 0]) sont des réels positifs, considérons d'abord l'égalité des modules, ce qui détermine a

a(Sqrt[(((q-(Ω^2)))^2)+ (((2 p Ω))^2)])=(Subscript[g, 0]) 1     ⟹       a=((Subscript[g, 0])/(Sqrt[(((q-(Ω^2)))^2)+ (((2 p Ω))^2)]))

Considérons ensuite l'égalité des arguments, ce qui détermine φ

Arg((q- (Ω^2)) +i (2 p Ω))=φ

La solution complexe étant ainsi déterminée, revenons à des solutions réelles dans le cas où p, q, (Subscript[g, 0]),a  et  φ sont des nombres réels. Dans l'équation complexe

(((Subscript[y, part])))''+2 p(((Subscript[y, part])))'+q (Subscript[y, part])=(Subscript[g, 0]) (e^(i Ω t))          où          (Subscript[y, part])(t)=a (e^(i (Ω t-φ)))

écrivons que les parties réelles des deux membres sont égales:

en posant    (Subscript[y, part])(t)=Re[a (e^(i (Ω t-φ)))]=a cos(Ω t-φ),  on obtient

(((Subscript[y, part])))''+2 p(((Subscript[y, part])))'+q (Subscript[y, part])=(Subscript[g, 0]) cos(Ω t)

tandis qu'en considérant l'égalité des parties imaginaires, il vient

(((Subscript[y, part])))''+2 p(((Subscript[y, part])))'+q (Subscript[y, part])=(Subscript[g, 0]) sin(Ω t)        où       (Subscript[y, part])(t)=a sin(Ω t-φ)

Vérifions la solution complexe avec Mathematica:

(Subscript[y, part])(t)=(((Subscript[g, 0]) (e^(i φ )))/((q- (Ω^2)) +i (2 p Ω)))(e^(i (Ω t-φ)))=(((Subscript[g, 0]) (e^(i Ω t)))/((q- (Ω^2)) +i (2 p Ω)))

Clear[yp];
yp[t_]:=((g0  (E^(I Ω t)))/((q- (Ω^2)) +I (2 p Ω)))

Simplify[yp''[t]+2 p((yp))'[t]+q yp[t]]

Dans le cas où l'on dispose de valeurs numériques pour les données, avec l'excitation  g(t)=(Subscript[g, 0]) sin(Ω t), on peut calculer une solution comme suit

a=(g0/(Sqrt[(((q-(Ω^2)))^2)+ (((2 p Ω))^2)]))/.{p->1,q->65,Ω->1,g0->3}

φ=Arg[(q- (Ω^2)) +I (2 p Ω)/.{p->1,q->65,Ω->1,g0->3}]

Clear[yp];
yp[t_]:=a Sin[Ω t-φ]

yp[t]

Vérification :

FullSimplify[yp''[t]+2 p((yp))'[t]+q yp[t]-g0 Sin[Ω t]/.{p->1,q->65,Ω->1,g0->3}]

§ 2.3 S 3	Equation inhomogène : calcul d'une solution générale

Oscillations amorties et entretenues avec conditions initiales, cas   (p^2)<q

ω=(Sqrt[q-(p^2)])

y(t)=(e^(-p t))((Subscript[c, 1])cos(ω t)+(Subscript[c, 2])sin(ω t))+a sin(Ω t-φ)

Exemple numérique avec vérification, puis comparaison avec la solution de Mathematica

p=2; q=7;Ω=2;
Clear[y,t, c1, c2,g0];
ω=(Sqrt[q-(p^2)]);
yg[t_]:=(E^(-p t))(c1 Cos[ω t]+c2 Sin[ω t])  +(g0/(Sqrt[(((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)]))Sin[Ω t-ArcCos[((q-(Ω^2))/(Sqrt[(((q-(Ω^2)))^2)+ (((2 p Ω))^2)]))]]

FullSimplify[yg''[t]+2 p yg'[t]+q yg[t]-g0 Sin[Ω t]]

sol=DSolve[y''[t]+2 p y'[t]+q y[t]==g0 Sin[Ω t],y[t],t]

FullSimplify[yg[t]-(y[t]/.sol[[1]])]