§ 2.2	Projection sur l'espace supplémentaire orthogonal  [Facultatif]

Projection sur l'espace supplémentaire orthogonal, cas vectoriel dans (ℝ^3)

Soit G le sous-espace engendré par la base ((OverVector[(Subscript[g, 1])]), (OverVector[(Subscript[g, 2])])) et H le sous-espace engendré par la base ( (OverVector[h]) ) de telle manière que  ((OverVector[(Subscript[g, 1])]), (OverVector[(Subscript[g, 2])]), (OverVector[h])) soit une base de (ℝ^3) et que G ⊥ H c'est-à-dire (OverVector[(Subscript[g, 1])]) ⊥ (OverVector[h])  et  (OverVector[(Subscript[g, 2])]) ⊥ (OverVector[h]). Dans un tel cas, on dit que H est le sous-espace supplémentaire orthogonal de G dans (ℝ^3).

<<"Objets3D`";
o={0,0,0};vg={-2,3,0};vh={0,0,2.5`};v=vh+vg;g1={0,1,0};g2={-1,0,0};h={0,0,1};
Show[Graphics3D[{{Dashing[{0.02`}],Line[{vg,{-2,0,0},g2}],Line[{vg,{0,3,0},g1}],Line[{vg,v}],Line[{vh,v}],vecteur3D[o,vg,0.05`,0.005`],Line[{o,-h}]},vecteur3D[o,g1,0.1`,0.005`],vecteur3D[o,g2,0.1`,0.005`],vecteur3D[o,h,0.1`,0.005`],vecteur3D[o,vh,0.05`,0.005`],vecteur3D[o,v,0.03`,0.005`],Text["\!\(\*OverscriptBox[\(v\), \(\( \)\(\(⇀\)\( \)\)\)]\)",v+{0,0.1`,0.1`}],Text["\!\(\*OverscriptBox[SubscriptBox[\(v\), \(G\)], \(\( \)\(\(⇀\)\( \)\)\)]\)",vg+{0,0.2`,0}],Text["\!\(\*OverscriptBox[SubscriptBox[\(v\), \(H\)], \(\( \)\(\(⇀\)\( \)\)\)]\)",vh+{0,-0.2`,0}],Text["\!\(\*OverscriptBox[SubscriptBox[\(g\), \(1\)], \(\( \)\(\(⇀\)\( \)\)\)]\)",g1+{0,0.1`,-0.15`}],Text["\!\(\*OverscriptBox[SubscriptBox[\(g\), \(2\)], \(\( \)\(\(⇀\)\( \)\)\)]\)",g2+{-0.3`,-0.2`,0}],Text["\!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(\( \)\(\(⇀\)\( \)\)\)]\)",h+{0,-0.15`,0}],Text["H",-h+{0,-0.15`,0}],Text["G",0.3` g1+0.4` g2],Polygon[{o,0.5` g1,0.5` g2}]},Boxed->False,PlotRange->All,ViewPoint->{3,1,1}],ImageSize->{400,250}]

Notons (OverVector[(Subscript[v, G])])=projection orthogonale de (OverVector[v]) sur G  et  (OverVector[(Subscript[v, H])])=projection orthogonale de(OverVector[ v]) sur H. On a

(OverVector[(Subscript[v, G])])+(OverVector[(Subscript[v, H])])=(OverVector[v])

Or, pour calculer (OverVector[(Subscript[v, G])]), il faut résoudre un système de deux équation à deux inconnues, tandis que, pour calculer (OverVector[(Subscript[v, H])]), il suffit de résoudre un système d'une équation à une inconnue. Pour calculer (OverVector[(Subscript[v, G])]) dans le cas où H est connu, il est donc avantageux de calculer d'abord (OverVector[(Subscript[v, H])]) puis la différence (OverVector[(Subscript[v, G])])=(OverVector[v])-(OverVector[(Subscript[v, H])]).

Projection sur l'espace supplémentaire orthogonal, cas affine dans (ℝ^n)

Soit G le sous-espace affine de repère (A,(OverVector[(Subscript[g, 1])]), ..., (OverVector[(Subscript[g, p])])) et H le sous-espace affine de repère (B,(OverVector[(Subscript[h, 1])]), ..., (OverVector[(Subscript[h, q])])). Nous supposons que G et H sont des espaces supplémentaires orthogonaux dans (ℝ^n), c'est-à-dire n=p+q, {(OverVector[(Subscript[g, 1])]),(OverVector[(Subscript[g, 2])]),...,(OverVector[(Subscript[g, p])]),(OverVector[(Subscript[h, 1])]),(OverVector[(Subscript[h, 2])]),...,(OverVector[(Subscript[h, q])])} est une base de (ℝ^n) et  (OverVector[(Subscript[g, i])]) ⊥ (OverVector[(Subscript[h, j])]) pour tous les i ∈ {1, ..., p}, j∈ {1, ...,q}. On exige donc que chaque (OverVector[(Subscript[g, i])]) soit orthogonal à chaque (OverVector[(Subscript[h, j])]) mais on ne demande pas que les (OverVector[(Subscript[g, i])]) soient orthogonaux entre eux ni que les (OverVector[(Subscript[h, j])]) soient orthogonaux entre eux.

1. L'intersection des espaces G et H consiste en un et un seul point I. En effet,

I ∈ G ⟹   (OverVector[AI])=(Subscript[r, 1])(OverVector[(Subscript[g, 1])])+(Subscript[r, 2])(OverVector[(Subscript[g, 2])])+...+(Subscript[r, p])(OverVector[(Subscript[g, p])])

I ∈ H ⟹   (OverVector[BI])=(Subscript[r, p+1])(OverVector[(Subscript[h, 1])])+(Subscript[r, p+2])(OverVector[(Subscript[h, 2])])+...+(Subscript[r, n])(OverVector[(Subscript[h, q])])

(OverVector[AB])=(OverVector[AI])+(OverVector[IB])=(OverVector[AI])-(OverVector[BI])=(Subscript[r, 1])(OverVector[(Subscript[g, 1])])+(Subscript[r, 2])(OverVector[(Subscript[g, 2])])+...+(Subscript[r, p])(OverVector[(Subscript[g, p])])-(Subscript[r, p+1])(OverVector[(Subscript[h, 1])])-(Subscript[r, p+2])(OverVector[(Subscript[h, 2])])-...-(Subscript[r, n])(OverVector[(Subscript[h, q])])

Comme {(OverVector[(Subscript[g, 1])]),(OverVector[(Subscript[g, 2])]),...,(OverVector[(Subscript[g, p])]),(OverVector[(Subscript[h, 1])]),(OverVector[(Subscript[h, 2])]),...,(OverVector[(Subscript[h, q])])} est une base de (ℝ^n),les systèmes précédents possèdent une et une seule solution.

2. Le point I est la projection de B sur G. En effet,

(OverVector[AB])=(Subscript[s, 1])(OverVector[(Subscript[g, 1])])+(Subscript[s, 2])(OverVector[(Subscript[g, 2])])+...+(Subscript[s, p])(OverVector[(Subscript[g, p])])+(Subscript[s, p+1])(OverVector[(Subscript[h, 1])])+(Subscript[s, p+2])(OverVector[(Subscript[h, 2])])+...+(Subscript[s, n])(OverVector[(Subscript[h, q])])

(OverVector[AI])=(Subscript[s, 1])(OverVector[(Subscript[g, 1])])+(Subscript[s, 2])(OverVector[(Subscript[g, 2])])+...+(Subscript[s, p])(OverVector[(Subscript[g, p])])    
(il s'agit du point I défini sous le point 1 avec (Subscript[s, 1])=(Subscript[r, 1]), ...).

3. Le point I est la projection de A sur H. En effet,

(OverVector[BA])=(Subscript[t, 1])(OverVector[(Subscript[g, 1])])+(Subscript[t, 2])(OverVector[(Subscript[g, 2])])+...+(Subscript[t, p])(OverVector[(Subscript[g, p])])+(Subscript[t, p+1])(OverVector[(Subscript[h, 1])])+(Subscript[t, p+2])(OverVector[(Subscript[h, 2])])+...+(Subscript[t, n])(OverVector[(Subscript[h, q])])

(OverVector[BI])=(Subscript[t, p+1])(OverVector[(Subscript[h, 1])])+(Subscript[t, p+2])(OverVector[(Subscript[h, 2])])+...+(Subscript[t, n])(OverVector[(Subscript[h, q])])   
(il s'agit du point I défini sous le point 1 avec (Subscript[t, p+1])=(Subscript[r, p+1]), ...).

4. Il est donc possible de calculer I au moyen d'un système dont le nombre d'équations est  min{p, q}. En effet,
	I est la projection orthogonale de B sur G (système de p équations) et
	I est aussi la projection orthogonale de A sur H (système de q équations).
	Il est donc possible de calculer I au moyen d'un système dont le nombre d'équations est  min{p, q}.

5. Notons (Subscript[P, G]) la projection orthogonale de P sur G et (Subscript[P, H]) la projection orthogonale de P sur H. Le point d'intersection I étant connu, il est possible de calculer (Subscript[P, G]) et (Subscript[P, H]) à partir d'un système dont le nombre d'équations est  min{p, q}. En effet,
	si p ≤ q alors on calcule d'abord (Subscript[P, G]) à partir d'un système de p équations
		puis (Subscript[P, H]) au moyen de la relation (OverVector[(Subscript[IP, G])])+(OverVector[(Subscript[IP, H])])=(OverVector[IP]);
	sinon  on calcule d'abord (Subscript[P, H]) à partir d'un système de q équations
		puis (Subscript[P, G]) au moyen de la relation (OverVector[(Subscript[IP, G])])+(OverVector[(Subscript[IP, H])])=(OverVector[IP]).

Pour l'interprétation géométrique de la situation, la figure du corrigé de l'exercice 1.1-3 présente le cas particulier p=2, q=1, n=3.

Exercice 2.2 - 1             [Facultatif]

On définit

G={(x,y,z)∈ (ℝ^3) | 4 x-2 y+3 z-5=0}

a)	En notant

(OverVector[n])=(({{4}, {-2}, {3}})), A(0;-1;1),  P(x, y, z)

montrez que l'équation s'écrit sous la forme

(OverVector[n]).(OverVector[AP])=0

En déduire que G est un plan.

b)	Calculez la projection orthogonale de P(-1; 6; -5) sur G.

Exercice 2.2 - 2             [Facultatif]

Soit (OverVector[v])=(({{(Subscript[v, 1])}, {(Subscript[v, 2])}, {(Subscript[v, 3])}})) un vecteur quelconque et G le plan vectoriel de vecteur normal (OverVector[n])=(({{(Subscript[n, 1])}, {(Subscript[n, 2])}, {(Subscript[n, 3])}})). Calculez le vecteur réfléchi (OverVector[w]) obtenu par réflexion de (OverVector[v]) sur G.

Indications

1°	Les vecteurs (OverVector[n]), (OverVector[v]) et (OverVector[w]) sont coplanaires.
2°	L'angle d'incidence (entre -(OverVector[v]) et (OverVector[n])) et l'angle de réfexion (entre (OverVector[n]) et (OverVector[w])) sont égaux.
3°	Calculez d'abord (OverVector[(Subscript[v, H])])= projection orthogonale de (OverVector[v]) sur la direction normale (OverVector[n]).
4°	Calculez enfin (OverVector[w]) (voir fig.).

<<"Graphics`Arrow`";
o={0,0};n={0,1};v={1,-1};w={1,1};vh={0,-1};Show[Graphics[{Line[{{-1,0},{2,0}}],Arrow[o,n],Arrow[o,v],Arrow[o,vh],Arrow[o,w],Text["\!\(\*OverscriptBox[SubscriptBox[\(v\), \(H\)], \(⟶\)]\)",vh,{0,1}],Text["\!\(\*OverscriptBox[\(w\), \(->\)]\)",w,{-1,-1}],Text["\!\(\*OverscriptBox[\(v\), \(->\)]\)",v,{-1,1}],Text["\!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(->\)]\)",n,{0,-1}],{Dashing[{0.02`}],Line[{o,-v}]}},PlotRange->All,ImageSize->{400,200}]]

Exercice 2.2 - 3             [Facultatif]

Vérifiez la formule de la projection orthogonale de P sur π avec les notations utilisées dans Formulaires et tables:

(Overscript[OQ, ⟶])=(Overscript[OP, ⟶])-(((Overscript[AP, ⟶])·(Overscript[n, →]))/(∥(Overscript[n, →])(∥^2)))(Overscript[n, →])