pts={{0,5},{1,4},{2,1},{3,3}};

Période 4                              f(t+4)=f(t)

1,   cos(((2π)/4)t),sin(((2π)/4)t)

f(t)=(Subscript[c, 0]) +(Subscript[c, 1])  cos(((2π)/4)t)+(Subscript[c, 2])sin(((2π)/4)t)

Résidus

f(0)-5=(Subscript[c, 0]) +(Subscript[c, 1])  cos(((2π)/4)0)+(Subscript[c, 2])sin(((2π)/4)0)-5

f(1)-4=(Subscript[c, 0]) +(Subscript[c, 1])  cos(((2π)/4)1)+(Subscript[c, 2])sin(((2π)/4)1)-4

f(2)-1=(Subscript[c, 0]) +(Subscript[c, 1])  cos(((2π)/4)2)+(Subscript[c, 2])sin(((2π)/4)2)-1

f(3)-3=(Subscript[c, 0]) +(Subscript[c, 1])  cos(((2π)/4)3)+(Subscript[c, 2])sin(((2π)/4)3)-3

Sommes des carrés des résidus

((((Subscript[c, 0]) +(Subscript[c, 1])  cos(((2π)/4)0)+(Subscript[c, 2])sin(((2π)/4)0)-5))^2)+((((Subscript[c, 0]) +(Subscript[c, 1])  cos(((2π)/4)1)+(Subscript[c, 2])sin(((2π)/4)1)-4))^2)+((((Subscript[c, 0]) +(Subscript[c, 1])  cos(((2π)/4)2)+(Subscript[c, 2])sin(((2π)/4)2)-1))^2)+((((Subscript[c, 0]) +(Subscript[c, 1])  cos(((2π)/4)3)+(Subscript[c, 2])sin(((2π)/4)3)-3))^2)=MIN

Il s'agit du carré de la norme du vecteur suivant

(OverVector[e])=(({{(Subscript[c, 0]) +(Subscript[c, 1])  cos(((2π)/4)0)+(Subscript[c, 2])sin(((2π)/4)0)-5}, {(Subscript[c, 0]) +(Subscript[c, 1])  cos(((2π)/4)1)+(Subscript[c, 2])sin(((2π)/4)1)-4}, {(Subscript[c, 0]) +(Subscript[c, 1])  cos(((2π)/4)2)+(Subscript[c, 2])sin(((2π)/4)2)-1}, {(Subscript[c, 0]) +(Subscript[c, 1])  cos(((2π)/4)3)+(Subscript[c, 2])sin(((2π)/4)3)-3}}))=(Subscript[c, 0])(({{1 }, {1}, {1}, {1}}))+(Subscript[c, 1])(({{cos(((2π)/4)0)}, { cos(((2π)/4)1)}, { cos(((2π)/4)2)}, {cos(((2π)/4)3)}}))+(Subscript[c, 2])(({{sin(((2π)/4)0)}, { sin(((2π)/4)1)}, { sin(((2π)/4)2)}, {sin(((2π)/4)3)}}))-(({{5}, {4}, {1}, {3}}))=(Subscript[c, 0])(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶])+(Subscript[c, 1])(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶])+(Subscript[c, 2])(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶])-(Overscript[y, ⟶])

Solution

(Overscript[e, ->]).(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶])=0;      (Overscript[e, ->]).(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶])=0;      (Overscript[e, ->]).(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶])=0;      (Overscript[e, ->]).(Overscript[(Subscript[g, 3]), ⟶])=0;

((Subscript[c, 0])(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶])+(Subscript[c, 1])(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶])+(Subscript[c, 2])(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶])-(Overscript[y, ⟶])).(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶])=0;      ((Subscript[c, 0])(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶])+(Subscript[c, 1])(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶])+(Subscript[c, 2])(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶])-(Overscript[y, ⟶])).(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶])=0;           ((Subscript[c, 0])(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶])+(Subscript[c, 1])(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶])+(Subscript[c, 2])(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶])-(Overscript[y, ⟶])).(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶])=0;            ((Subscript[c, 0])(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶])+(Subscript[c, 1])(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶])+(Subscript[c, 2])(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶])-(Overscript[y, ⟶])).(Overscript[(Subscript[g, 3]), ⟶])=0;

(Subscript[c, 0])(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶])+(Subscript[c, 1])(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶])+(Subscript[c, 2])(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶])-(Overscript[y, ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶])=0;      (Subscript[c, 0])(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶])+(Subscript[c, 1])(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶])+(Subscript[c, 2])(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶])-(Overscript[y, ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶])=0;          (Subscript[c, 0])(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶])+(Subscript[c, 1])(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶])+(Subscript[c, 2])(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶])-(Overscript[y, ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶])=0;          (Subscript[c, 0])(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 3]), ⟶])+(Subscript[c, 1])(Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 3]), ⟶])+(Subscript[c, 2])(Overscript[(Subscript[g, 2]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 3]), ⟶])-(Overscript[y, ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 3]), ⟶])=0;

(({{(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[g, 1]), ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶]), □, □}, {□, □, □, □}, {□, □, □, □}, {□, □, □, □}}))(({{(Subscript[c, 0])}, {(Subscript[c, 1])}, {□}, {□}}))=(({{(Overscript[y, ⟶]).(Overscript[(Subscript[g, 0]), ⟶])}, {□}, {□}, {□}}))