Simulation - Annexes

Supplément
Calcul des probabilités exactes pour les exemples du cours

Ce supplément fait appel à des notions qui n'ont peut-être pas encore été étudiées. A ce titre, il est destiné prioritairement au professeur.

§ 2-1 Deux six consécutifs

On représente la situation au moyen du diagramme ci-dessous qui comporte 4 états:
	l'état 0 est l'état initial;
	l'état 1 est "tirer un dé non six succédant à un dé non six";
	l'état 2 est "tirer un dé six succédant à un dé non six" (premier six);
	l'état 3 est "tirer un dé six succédant à un dé six" (deuxième six); cet état est absorbant (= état final).

Les arcs orientés qui relient ces états portent les probabilités de transition (chaîne de Markov).

({{ ,  , (Overscript[↑({{⟶}, {   }})↓, (5/6)]),  ,  ,  ,  }, {Etat 0: start, (Overscript[⟶, (5/6)]), Etat 1: non 6, (Underscript[(Overscript[⇌, (1/6)]), (5/6)]), Etat 2:premier 6, (Overscript[⟶, (1/6)]), Etat 3: second 6}, {↘,  ,  ,  , ↗,  ,  }, { , ⟶, (Underscript[⟶, (1/6)]), ⟶,  ,  ,  }})

Notons  (Subscript[m, i])   le temps moyen d'absorbtion, c'est-à-dire le nombre d'étapes pour parvenir à l'état final à partir de l'état numéro i. Nous cherchons  (Subscript[m, 0]).

En partant de l'état initial,
	5 fois sur 6, on aboutit à l'état 1 et il faut encore (Subscript[m, 1]) étapes pour terminer;
	1 fois sur 6, on aboutit à l'état 2 et il faut encore (Subscript[m, 2]) étapes pour terminer;
donc

(Subscript[m, 0])=(5/6)(1+(Subscript[m, 1]))+(1/6)(1+(Subscript[m, 2]))=1+(5/6)(Subscript[m, 1])+(1/6)(Subscript[m, 2])

D'une manière analogue,

(Subscript[m, 1])=(5/6)(1+(Subscript[m, 1]))+(1/6)(1+(Subscript[m, 2]))=1+(5/6)(Subscript[m, 1])+(1/6)(Subscript[m, 2])

(Subscript[m, 2])=(5/6)(1+(Subscript[m, 1]))+(1/6)·1=1+(5/6)(Subscript[m, 1])

(Subscript[m, 3])=0

Les temps moyens d'absorbtion sont les solutions du système d'équations linéaires

({{(Subscript[m, 0]), -(5/6)(Subscript[m, 1]), -(1/6)(Subscript[m, 2]), =1}, { , (1/6)(Subscript[m, 1]), -(1/6)(Subscript[m, 2]), =1}, { , -(5/6)(Subscript[m, 1]), + (Subscript[m, 2]), =1}})

qu'on peut réduire à la forme triangulaire

({{(Subscript[m, 0]), -(5/6)(Subscript[m, 1]), -(1/6)(Subscript[m, 2]), =1}, { , (1/6)(Subscript[m, 1]), -(1/6)(Subscript[m, 2]), =1}, { ,  , (1/6) (Subscript[m, 2]), =6}})

dont les solutions sont

({{(Subscript[m, 2]), = 36}, {(Subscript[m, 1]), = 42}, {(Subscript[m, 0]), = 42}})

§ 2-2 Aiguille de Buffon

Soit à calculer

μ=P{(θ, d)|d<(1/2)cos(θ)}

On choisit un point  (θ, d) aléatoirement dans le rectangle  [0; (π/2)] × [0; 1]. L'expérience est réussie si et seulement si le point  (θ, d) est situé au-dessous de la courbe  d=cos(θ).

Géométriquement, μ  représente le rapport entre l'aire de la surface grisée et l'aire du rectangle:

μ=P{(θ, d)|d<(1/2)cos(θ)}=((Aire de {(θ, d)|d<(1/2)cos(θ)})/((π/2)·1))=(2/π)(∫_0^(π/2))(1/2)cos(θ)dθ=(2/π)((1/2)sin(θ))(Subscript[|, 0]^(π/2))=(1/π)

§ 2-3 Calcul d'un volume

Pour  (Subscript[y, 0]) ∈ [0; 1]  donné, calculons l'aire  S((Subscript[y, 0]))  d'une section du corps par le plan  y=(Subscript[y, 0])  (voir figure pour  (Subscript[y, 0])=0.3)

Clear[f,x,y];f[x_,y_]:=4-(x^2)-(y^2);
y0=0.3`;
coupe=Join[Table[{x,y0,f[x,y0]},{x,0,(3/2),(3/40)}],{{(3/2),y0,0},{0,y0,0},{0,y0,f[0,y0]}}];
Show[Plot3D[f[x,y],{x,0,1.5`},{y,0,y0},DisplayFunction->Identity],Graphics3D[{{EdgeForm[],Polygon[coupe]},Text["S(\!\(\*SubscriptBox[\(y\), \(\[Placeholder]\)]\))",{0.75`,y0,1}],{Line[{{(3/2),y0,f[(3/2),y0]},{(3/2),y0,0},{0,y0,0},{0,y0,f[0,y0]}}]}}],BoxRatios->{1.5`,1,4},AxesLabel->{"x","y","z"},Ticks->{{0,0.5`,1,1.5`},{0.`,{y0,"\!\(\*SubscriptBox[\(y\), \(0\)]\)"},0.7`,1},{0,1,2,3,4}},ViewPoint->{3,1,1},PlotRange->{{0,1.5`},{0,1},{0,4}},DisplayFunction->$DisplayFunction,ImageSize->{400,400}]

S((Subscript[y, 0]))=(∫_0^1.5)(4-(x^2)-(Subscript[y, 0]^2))dx=(4x-(1/3)(x^3)-(Subscript[y, 0]^2) x)(Subscript[|, 0]^1.5)=4·1.5-(1/3)(1.5^3)-(Subscript[y, 0]^2) 1.5=4.875-1.5(Subscript[y, 0]^2)

Calculons maintenant le volume du corps:

V=(∫_0^1)S(y)dy=(∫_0^1)(4.875-1.5 (y^2))dy=(4.875 y- (1.5/3) (y^3))(Subscript[|, 0]^1)=4.875-0.5=4.375