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§ 1.1	Complément de cours 2: Calcul de la médiane

Calcul de la médiane à partir des données brutes au moyen d'un algorithme

Considérons par exemple une variable statistique discrète dont les valeurs sont

(Subscript[x, 1])=3; (Subscript[x, 2])=4; (Subscript[x, 3])=6; (Subscript[x, 4])=5; (Subscript[x, 5])=4; (Subscript[x, 6])=3; (Subscript[x, 7])=5; (Subscript[x, 8])=4; (Subscript[x, 9])=4; (Subscript[x, 10])=5;n=10

La première étape consiste à trier l'échantillon, c'est-à-dire à l'ordonner par valeurs croissantes:

(Subscript[x, 1])=3; (Subscript[x, 2])=3; (Subscript[x, 3])=4; (Subscript[x, 4])=4; (Subscript[x, 5])=4; (Subscript[x, 6])=4; (Subscript[x, 7])=5; (Subscript[x, 8])=5; (Subscript[x, 9])=5; (Subscript[x, 10])=6;n=10

La deuxième étape consiste à calculer le rang de l'élément situé au milieu de la liste

r=1+(1/2)(10-1)=((10+1)/2)=5.5

Lorsque le résultat n'est pas entier, on l'arrondit à l'entier inférieur;

r=ArrondisInf(5.5)=5

La modalité qui correspond à ce rang est la médiane (au sens de quantile (1/2))

(Subscript[M, e])=(Subscript[x, r])=(Subscript[x, 5])=4

Généralisons l'algorithme par calculer la médiane à partir de données brutes

1.	Trier les données par ordre croissant    (Subscript[x, 1])≤(Subscript[x, 2])≤...≤(Subscript[x, n])
2.	Calculer le rang de l'élément central   r=ArrondisInf(1+(1/2)(n-1))
3.	La médiane (au sens de quantile (1/2)) est l'élément qui a ce rang   (Subscript[M, e])=(Subscript[x, r])

Calcul de la médiane à partir des données brutes au moyen des fonctions internes de Mathematica

x={3,4,6,5,4,3,5,4,4,5};

n=Length[x]

r=Floor[1+(1/2)(n-1)]

me=Sort[x][[r]]

Calcul de la médiane à partir des données brutes au moyen d'un package de Mathematica

me=Quantile[x,(1/2)]

Calcul de la médiane à partir des données groupées au moyen d'un algorithme

Pour calculer des quartiles, il est avantageux de calculer les fréquences cumulées.

<<Tableaux`;
afficheTableau[None,{"Modalités\n(Subscript[c, j])","Effectifs\n(Subscript[n, j])","Effectifs cumulés\n(Subscript[N, j])","Fréquences cumulées\n(Subscript[F, j])"},{{3,2,2,0.2},{4,4,6,0.6},{5,3,9,0.9},{6,1,10,1.}}]

Dans le tableau, repérer la modalité pour laquelle la fréquence cumulée atteint ou dépasse 0.5;
c'est (Subscript[c, 2])=4; donc Me=4.

[Facultatif] Calcul de la médiane à partir des données groupées au moyen des fonctions internes de Mathematica

c={3,4,5,6};

fc={2,6,9,10}(1/10);

Dans la liste des fréquences cumulées, on cherche la position de la première qui atteint ou dépasse (1/2)

vf=NonNegative[fc-(1/2)]

r=First[Flatten[Position[vf,True]]]

La médiane est la modalité qui lui corespond

me=c[[r]]