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§ 1-1 Complément de cours 4: Calcul de l'écart-type

Moyenne quadratique

Moyenne arithmétique

m=(((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+...+(Subscript[x, n]))/n)=(1/n)(∑_(i=1)^n)(Subscript[x, i])

Moyenne quadratique

(Sqrt[(((Subscript[x, 1]^2)+(Subscript[x, 2]^2)+...+(Subscript[x, n]^2))/n)])=(Sqrt[(1/n)(∑_(i=1)^n)(Subscript[x, i]^2)])

Ecart-type de données brutes, formule mathématique

L'écart-type est la moyenne quadratique des écarts à la moyenne. Considérons par exemple une variable statistique discrète dont les valeurs sont

(Subscript[x, 1])=3; (Subscript[x, 2])=4; (Subscript[x, 3])=6; (Subscript[x, 4])=5; (Subscript[x, 5])=4; (Subscript[x, 6])=3; (Subscript[x, 7])=5; (Subscript[x, 8])=4; (Subscript[x, 9])=4; (Subscript[x, 10])=5;
n=10

Calculer la moyenne arithmétique

m=(((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+...+(Subscript[x, n]))/n)=(1/n)(∑_(i=1)^n)(Subscript[x, i])=4.3

On calcule successivement les écarts à la moyenne

{3-4.3,4-4.3, 6-4.3, 5-4.3, 4-4.3, 3-4.3, 5-4.3, 4-4.3, 4-4.3,5-4.3}

les carrés des écarts à la moyenne

{(((3-4.3))^2),(((4-4.3))^2), (((6-4.3))^2), (((5-4.3))^2), (((4-4.3))^2), (((3-4.3))^2),((( 5-4.3))^2), (((4-4.3))^2), (((4-4.3))^2),(((5-4.3))^2)}

la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, appelée variance:

variance=((((3-4.3))^2)+(((4-4.3))^2)+ (((6-4.3))^2)+ (((5-4.3))^2)+ (((4-4.3))^2)+ (((3-4.3))^2)+((( 5-4.3))^2)+ (((4-4.3))^2)+ (((4-4.3))^2)+(((5-4.3))^2))(1/10)

L'écart-type est qui est la racine carrée de la variance:

s=(Sqrt[variance])

les formules de la variance et de l'écart-type sont, respectivement,

v=((((((Subscript[x, 1])-m))^2)+((((Subscript[x, 2])-m))^2)+...+((((Subscript[x, n])-m))^2))/n)=(1/n)(∑_(i=1)^n)((((Subscript[x, i])-m))^2)

s=(Sqrt[v=])(Sqrt[((((((Subscript[x, 1])-m))^2)+((((Subscript[x, 2])-m))^2)+...+((((Subscript[x, n])-m))^2))/n)])=(Sqrt[(1/n)(∑_(i=1)^n)((((Subscript[x, i])-m))^2)])

Ecart-type de données brutes, calcul avec les fonctions internes de Mathematica

Définir l'échantillon

x={3,4, 6, 5, 4, 3, 5, 4, 4,5};

Calculer sa taille

n=Length[x]

Calculer la moyenne

m=((Apply[Plus,x])/n)

Calculer succesivement les écarts à la moyenne

x-m

Calculer les carrés des écarts à la moyenne

(((x-m))^2)

la moyenne des carrés des écarts à la moyenne

variance=((Apply[Plus,(((x-m))^2)])/n)

L'écart-type

s=(Sqrt[((Apply[Plus,(((x-m))^2)])/n)])

Ecart-type de données brutes, calcul avec les packages locaux

Définir l'échantillon

x={3,4, 6, 5, 4, 3, 5, 4, 4,5};

Charger le package voulu

<<statistique`

Appeler la fonction

?StandardDeviationMLE

s=StandardDeviationMLE[x]

Ecart-type de données groupées, formules mathématiques

Groupement des données
Modalités	Effectifs
3		2
4		4
5		3
6		1
Notations: modalités, effectifs, fréquences

(Subscript[c, 1])=3; (Subscript[n, 1])=2; (Subscript[f, 1])=(2/10);
(Subscript[c, 2])=4; (Subscript[n, 2])=4; (Subscript[f, 2])=(4/10);
(Subscript[c, 3])=5; (Subscript[n, 3])=3; (Subscript[f, 3])=(3/10);
(Subscript[c, 4])=6; (Subscript[n, 4])=1; (Subscript[f, 4])=(1/10);
k=4

Calculer la moyenne

m=(∑_(j=1)^k)(Subscript[c, j]) (Subscript[f, j]) =4.3

Formule mathématique de l'écart-type avec les effectifs

v=((((3-4.3))^2)+(((4-4.3))^2)+ (((6-4.3))^2)+ (((5-4.3))^2)+ (((4-4.3))^2)+ (((3-4.3))^2)+((( 5-4.3))^2)+ (((4-4.3))^2)+ (((4-4.3))^2)+(((5-4.3))^2))(1/10)

v=((((3-4.3))^2)·2+(((4-4.3))^2)·4+ (((5-4.3))^2)·3+ (((6-4.3))^2)·1)(1/10)

v=(((((Subscript[c, 1])-m))^2)·(Subscript[n, 1])+((((Subscript[c, 2])-m))^2)·(Subscript[n, 2])+...((((Subscript[c, k])-m))^2)·(Subscript[n, k]))(1/n)

v=(1/n)(∑_(j=1)^k)((((Subscript[c, j])-m))^2)·(Subscript[n, j])

s=(Sqrt[v])=(Sqrt[(1/n)(∑_(j=1)^k)((((Subscript[c, j])-m))^2)·(Subscript[n, j])])

Formule mathématique de la moyenne avec les fréquences

v=((((3-4.3))^2)·2+(((4-4.3))^2)·4+ (((5-4.3))^2)·3+ (((6-4.3))^2)·1)(1/10)

v=(((3-4.3))^2)·(2/10)+(((4-4.3))^2)·(4/10)+ (((5-4.3))^2)·(3/10)+ (((6-4.3))^2)·(1/10)

v=((((Subscript[c, 1])-m))^2)·(Subscript[f, 1])+((((Subscript[c, 2])-m))^2)·(Subscript[f, 2])+...((((Subscript[c, k])-m))^2)·(Subscript[f, k])

v=(∑_(j=1)^k)((((Subscript[c, j])-m))^2)·(Subscript[f, j])

s=(Sqrt[v])=(Sqrt[(∑_(j=1)^k)((((Subscript[c, j])-m))^2)·(Subscript[f, j])])

Moyenne de données groupées, calcul avec les fonctions internes de Mathematica

Notion de produit scalaire en mathématiques

(({{(Subscript[u, 1])}, {(Subscript[u, 2])}}))·(({{(Subscript[v, 1])}, {(Subscript[v, 2])}}))=(Subscript[u, 1])(Subscript[v, 1])+(Subscript[u, 2])(Subscript[v, 2])

Notion de produit scalaire en Mathematica (le symbole du produit scalaire est le point):

Entrer les données

c={3,4,5,6};
f={0.2,0.4,0.3,0.1};

Calculer la moyenne

m=c.f

Calculer l'écart-type

s=(Sqrt[(((c-m))^2).f])