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§ 1.1	Complément de cours 5: Calcul de l'écart interquartile

Calcul de l'écart interquartile à partir des données brutes au moyen d'un algorithme

Considérons par exemple une variable statistique discrète dont les valeurs sont

(Subscript[x, 1])=3; (Subscript[x, 2])=4; (Subscript[x, 3])=6; (Subscript[x, 4])=5; (Subscript[x, 5])=4; (Subscript[x, 6])=3; (Subscript[x, 7])=5; (Subscript[x, 8])=4; (Subscript[x, 9])=4; (Subscript[x, 10])=5;n=10

La première étape consiste à trier l'échantillon, c'est-à-dire à l'ordonner par valeurs croissantes:

(Subscript[x, 1])=3; (Subscript[x, 2])=3; (Subscript[x, 3])=4; (Subscript[x, 4])=4; (Subscript[x, 5])=4; (Subscript[x, 6])=4; (Subscript[x, 7])=5; (Subscript[x, 8])=5; (Subscript[x, 9])=5; (Subscript[x, 10])=6;n=10

On calcule ensuite le rang de l'élément situé au (1/4) de la liste

r=1+(1/4)(10-1)=3.25`

Lorsque le résultat n'est pas entier, on l'arrondit à l'entier inférieur;

r=ArrondisInf(3.25)=3

La modalité qui correspond à ce rang est le premier quartile

(Subscript[q, 1])=(Subscript[x, r])=(Subscript[x, 3])=4

On calcule ensuite le rang de l'élément situé au (3/4) de la liste

r=1+(3/4)(10-1)=7.75

Lorsque le résultat n'est pas entier, on l'arrondit à l'entier inférieur;

r=ArrondisInf(7.75)=7

La modalité qui correspond à ce rang est le troisième quartile

(Subscript[q, 3])=(Subscript[x, r])=(Subscript[x, 7])=5

On calcule enfin lécart interquartile

(Subscript[q, 3])-(Subscript[q, 1])=5-4=1

Généralisons l'algorithme par calculer la médiane à partir de données brutes

1.	Trier les données par ordre croissant    (Subscript[x, 1])≤(Subscript[x, 2])≤...≤(Subscript[x, n])
2.	Calculer le premier quartile   r=ArrondisInf(1+(1/4)(n-1)); (Subscript[q, 1])=(Subscript[x, r])
3.	Calculer le troisième quartile   r=ArrondisInf(1+(3/4)(n-1)); (Subscript[q, 3])=(Subscript[x, r])
4.	L'écart interquartile est   (Subscript[q, 3])-(Subscript[q, 1])

Calcul de l'écart interquartile à partir des données brutes au moyen des fonctions internes de Mathematica

x=Sort[{3,4,6,5,4,3,5,4,4,5}]

n=Length[x]

r1=Floor[1+(1/4)(n-1)]

q1=x[[r1]]

r3=Floor[1+(3/4)(n-1)]

q3=x[[r3]]

q3-q1

Calcul de la médiane à partir des données brutes au moyen des fonctions internes de Mathematica

Quantile[x,(3/4)]-Quantile[x,(1/4)]

Calcul de la médiane à partir des données groupées au moyen d'un algorithme

Pour calculer des quartiles, il est avantageux de calculer les fréquences cumulées.

<<Tableaux`;
afficheTableau[None,{"Modalités\n(Subscript[c, j])","Effectifs\n(Subscript[n, j])","Effectifs cumulés\n(Subscript[N, j])","Fréquences cumulées\n(Subscript[F, j])"},{{3,2,2,0.2},{4,4,6,0.6},{5,3,9,0.9},{6,1,10,1.}}]

Dans le tableau, repérer la modalité pour laquelle la fréquence cumulée atteint ou dépasse 0.25;
c'est (Subscript[c, 2])=4; donc le premier quartile est (Subscript[q, 1])=4.

Dans le tableau, repérer la modalité pour laquelle la fréquence cumulée atteint ou dépasse 0.75;
c'est (Subscript[c, 3])=5; donc le troisème quartile est (Subscript[q, 3])=5.

Calculer l'écart interquartile

(Subscript[q, 3])-(Subscript[q, 1])=5-4=1

[Facultatif] Calcul de l'écart interquartile à partir des données groupées au moyen des fonctions internes de Mathematica

c={3,4,5,6};

fc={2,6,9,10}(1/10);

Dans la liste des fréquences cumulées, on cherche la position de la première qui atteint ou dépasse (1/4)

vf1=NonNegative[Sign[fc-(1/4)]]

r1=First[Flatten[Position[vf1,True]]]

q1=c[[r1]]

Dans la liste des fréquences cumulées, on cherche la position de la première qui atteint ou dépasse (3/4)

vf3=NonNegative[fc-(3/4)]

r3=First[Flatten[Position[vf3,True]]]

q3=c[[r3]]

L'écart interquartile est

q3-q1