Introduction à la notion de noyau

Avant de traiter des exemples en dimension 3, nous donnons d'abord un exemple introductif en dimension 2.

Exemple 1

Soit à résoudre l'équation linéaire inhomogène

x-3 y=5

Première méthode

x-3 y=5

On peut choisir librement y, puis calculer x

y=t

x=5+3 y=5+3 t,t∈ℝ

(({{x}, {y}}))=(({{5+3 t}, {t}}))=(({{5}, {0}}))+t(({{3 }, {1}}))

Interprétation graphique

(({{x}, {y}}))=(({{5+3 t}, {t}})) représente une droite (on dit aussi un sous-espace affine de dimension 1);

(({{5}, {0}}))=un point d'attache de la droite;

(({{3 }, {1}}))=un vecteur directeur de la droite.

Deuxième méthode

x-3 y=5

Premier pas: une solution particulière

x-3 y=5

Choisir y=0, d'où x=5

(({{x}, {y}}))=(({{5}, {0}})) est une solution particulière.

Interprétation: on obtient ainsi un point d'attache de la droite
(Généralisation: un point de l'espace affine des solutions:
	un point ou
	une droite ou
	un plan, ...)

Deuxième pas: noyau

Considérons l'équation homogène associée (le membre de droite est mis à zéro):

x-3 y=0

On peut choisir librement y, puis calculer x

y=t

x=3 y=3 t,t∈ℝ

(({{x}, {y}}))=(({{3 t}, {t}}))=t(({{3 }, {1}}))

On remarquera que l'origine devient point d'attache.
L'ensemble des solutions de l'équation homogène asociée est appelée noyau du système. (Généralisation : il s'agit d'un espace vectoriel:
	vecteur nul,
	droite vectorielle (droite passant par l'origine) ou
	plan vectoriel (plan passant par l'origine), ...)

On remarquera que la base du noyau

(({{3 }, {1}}))

est un vecteur directeur de la droite "solutions homogènes" et aussi de la droite "solutions inhomogènes".

Troisième pas: ensemble des solutions (inhomogènes)

(({{x}, {y}}))=(({{5}, {0}}))+t(({{3}, {1}}))

(ensemble des solutions)
=(une solution pariculière)+(ensemble des sol. du syst. homogène)
=(une solution particulière)+(noyau du système)
=(une solution particulière)
	+(combinaison linéaire de la base du noyau)

Exemple 2

Soit à résoudre l'équation linéaire inhomogène

x-3 y+2 z=5

Première méthode

x-3 y+ 2 z=5

On peut choisir librement y et z, puis calculer x

y=s,       z=t ,          s∈ℝ,t∈ℝ

x=5+3 y-2 z=5+3 s-2 t

(({{x}, {y}, {z}}))=(({{({{5+3 s-2 t}, {s}})}, {t}}))=(({{({{5}, {0}})}, {0}}))+s(({{3 }, {1}, {0}}))+t(({{({{-2 }, {0}})}, {1}}))

Interprétation graphique

(({{x}, {y}, {z}}))=(({{({{5+3 s-2 t}, {s}})}, {t}})) représente un plan (on dit aussi un sous-espace affine de dimension 2);

(({{({{5}, {0}})}, {0}}))=un point d'attache du plan;

((({{3 }, {1}, {0}})),(({{({{-2 }, {0}})}, {1}})))=une base du plan.

Deuxième méthode

x-3 y+2 z=5

Premier pas: une solution particulière

x-3 y+ 2 z=5

Choisir y=0 et z=0, puis calculer x=5

(({{5}, {0}, {0}})) est une solution particulière.

Interprétation: on obtient ainsi un point d'attache du plan
(généraliser: un point de l'espace affine des solutions:
	un point ou
	une droite ou
	un plan, ...)

Deuxième pas: noyau

Considérons l'équation homogène associée (le membre de droite est mis à zéro):

x-3 y+2 z=0

On peut choisir librement y et z, puis calculer x

y=s,          z=t,

x=3 y-2 z=3 s-2 t,                     s∈ℝ,t∈ℝ

(({{x}, {y}, {z}}))=(({{3 s-2t}, {s}, {t}}))=s(({{3}, {1}, {0}}))+t(({{-2}, {0}, {1}}))

On remarquera que l'origine devient point d'attache.
L'ensemble des solutions de l'équation homogène asociée est appelée noyau du système. (Généralisation : il s'agit d'un espace vectoriel:
	vecteur nul ou
	droite vectorielle (droite passant par l'origine) ou
	plan vectoriel (plan passant par l'origine), ...)

On remarquera que la base du noyau

((({{3}, {1}, {0}})), (({{-2}, {0}, {1}})))

est une base du plan "solutions homogènes" et aussi une base du plan "solutions inhomogènes".

Troisième pas: ensemble des solutions (inhomogènes)

(({{x}, {y}, {z}}))=(({{({{5+3 s-2 t}, {s}})}, {t}}))=(({{({{5}, {0}})}, {0}}))+(s(({{3 }, {1}, {0}}))+t(({{({{-2 }, {0}})}, {1}})))

(ensemble des solutions)
=(une solution particulière)+(ensemble des sol. du syst. homogène)
=(une solution pariculière)+(noyau du système)
=(une solution particulière)
	+(combinaison linéaire de la base du noyau)