Collège du Sud, Bulle
4-ème année OS PAM

Applications des mathématiques

Equations différentielles ordinaires

Version pour Mathematica
Edition 2016-2017
www.collegedusud.ch/app/applmaths/

§ 1	Equations différentielles ordinaires
	du premier ordre

§ 1.1	Equations différentielles ordinaires

Poser une équation différentielle avec condition initiale

Partons d'un problème de dynamique à une dimension (mouvement rectiligne).
Au cours de son lancement, une fusée montée sur un rail horizontal est soumise à deux forces :
 	la première est due au moteur qui produit une poussée constante p ;
 	la combustion du carburant fait diminuer régulièrement la masse

(Subscript[F, 1]) = p,         m=(Subscript[m, 0])-q t               où   p, (Subscript[m, 0])    sont des constantes

la deuxième  est causée par le frottement de l'air qui est proportionnel au carré de la vitesse
	(écoulement turbulent) :

(Subscript[F, 2])=-r (v^2)         où    r   est une  constante

De la loi de Newton, on tire

a=(((Subscript[F, 1]) +(Subscript[F, 2 ]))/m)=((p-r (v^2))/((Subscript[m, 0])-q t))

Les constantes p, (Subscript[m, 0]) et q étant données, on cherche la vitesse, c'est-à-dire la fonction t ↦v(t) qui satisfait l'équation

v'=((p-r (v^2))/((Subscript[m, 0])-q t))

Une telle relation qui exprime la dérivée de v en fonction de t et v est appelée équation différentielle.
Les forces ne suffisent pas à déterminer univoquement la vitesse: il faut encore donner la vitesse initiale

v(0)=0

Pour obtenir des valeurs numériques, considérons le cas particulier suivant :

p=4 N
(Subscript[m, 0])=8 kg
q= 2 (kg/s)
r = 1 ((N (s^2))/(m^2))

En laissant tomber les unités, l'équation différentielle avec  condition initiale s'écrit

v'=((4-(v^2))/(8-2 t))
v(0)=0

Vérifier une solution donnée

Pour gagner du temps, il arrive que le professeur de physique donne la solution de l'équation différentielle et se contente de la vérifier. Montrons maintenant que la fonction

v(t)=2((-(t^2)+8 t)/((t^2)-8 t+32))

est solution. Remplaçons d'abord v(t) dans le membre de gauche de l'équation différentielle

v'(t)=2(((-2 t+8)((t^2)-8 t+32)-(-(t^2)+8 t)(2 t-8))/((((t^2)-8 t+32))^2))=128((-t+4)/((((t^2)-8 t+32))^2))

Remplaçons maintenant v(t) dans le membre de droite de l'équation différentielle

((4-(v^2))/(8-2 t))=((4-4(((((-(t^2)+8 t)/((t^2)-8 t+32))))^2))/(8-2 t))=4((((((t^2)-8 t+32))^2)-(((-t + 8 t))^2))/((8-2 t) ((((t^2)-8 t+32))^2)))=4((32(2 (t^2)-16 t+32))/((8-2 t) ((((t^2)-8 t+32))^2)))=4((32*2(((t-4))^2))/(2(4- t) ((((t^2)-8 t+32))^2)))=128((-t+4)/((((t^2)-8 t+32))^2))

En comparant les deux membres, on voit que la fonction v(t) satisfait l'équation différentielle.

Montrons maintenant que la fonction v(t) satisfait aussi la condition initiale :

v(0)=2(0/32)=0

Il s'ensuit que la fonction v(t) donnée est une solution de l'équation différentielle avec condition initiale. Nous verrons plus tard que la solution est unique.

Nous nous proposons maintenant de dessiner cette solution. Comme temps maximal, choisissons l'instant où le 95 % de la masse de la fusée a été brûlé, temps donné par la condition

0.05 (Subscript[m, 0])=(Subscript[m, 0]) - q (Subscript[t, max])        ⟹      (Subscript[t, max])=0.95 ((Subscript[m, 0])/q)

p=4;m0=8;q=2;r=1;
tmin=0;tmax=0.95(m0/q);

Clear[v,t];
v[t_]:=2((-(t^2)+8 t)/((t^2)-8 t+32))

SetOptions[Plot,Axes->True,AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity,AxesLabel->{"t\n[s]","y [m/s]"},AspectRatio->1,ImageSize->{300,300},PlotRange->All];

courbe=Plot[v[t],{t,tmin,tmax},DisplayFunction->Identity];

Show[courbe,AxesLabel->{"t\n[s]","v [m/s]"},DisplayFunction->$DisplayFunction]

La fonction v(t) possède la propriété voulue : la dérivée de v en t est égale à ((4-(v^2))/(8-2 t))

Show[courbe,Graphics[{Point[{2,v[2]}],{Dashing[{0.01`}],Line[{{2,0},{2,v[2]},{0,v[2]}}]},Line[{{2,v[2]},{3,v[2]},{3,v[2]+v'[2]},{2,v[2]}}],Text["1",{2.5`,v[2]},{0,1}],Text["v'=\!\(\*FractionBox[\(4  -  \*SuperscriptBox[\(v\), \(2\)]\), \(8  -  2 t\)]\)",{3,v[2]+((v'[2])/2)},{-1,0}]}],DisplayFunction->$DisplayFunction,Ticks->{{{2,"t"}},{{v[2],"v"}}},AxesLabel->{"[s]","[m/s]"}]

Autrement dit, si la courbe passe par le point (t, v), alors la pente de sa tangente en ce point est donnée par la relation fonctionnelle  f(t,v)=((4-(v^2))/(8-2 t)).

Pour vérifier la solution donnée, il est possible d'utiliser Mathematica

Simplify[v'[t]-((4-((v[t])^2))/(8-2 t))]

v[0]

Définitions et terminologie

Une équation différentielle est une équation dans laquelle apparaît une ou plusieurs dérivée(s) d'une fonction inconnue y(t).

Une équation différentielle ordinaire du premier ordre est une équation de la forme suivante

y'=f(t,y)

On utilise aussi la notation équivalente

(dy/dt)=f(t,y)

Une solution de cette équation est une fonction t↦y(t) qui vérifie la relation

y'(t)=f(t,y(t))           pour tout t dans un intervalle.

En règle générale, une équation différentielle possède une infinité de solutions. Mais, si on prescrit de plus une condition initiale

y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0])

alors, sous des hypothèses assez générales, la solution y(t) existe et est unique.

Dans une équation différentielle ordinaire, on cherche une fonction d'une seule variable t, par opposition à une équation différentielle aux dérivées partielles dans laquelle on cherche une fonction de plusieurs variables.

Dans une équation différentielle ordinaire du premier ordre apparaît la dérivée première de la fonction cherchée (c'est-à-dire y'(t)), mais pas la dérivée seconde ni d'autres dérivées d'ordres supérieurs.

Les équations différentielles linéaires font l'objet du § 1.4.

Travaux dirigés du § 1.1

Un travail dirigé consiste en un mélange d'explications, de questions et d'activités. Il s'agit évidemment de comprendre les explications données, de répondre aux questions posées et de réaliser les activités proposées.

1.1 - TD 1	Croissance dont le taux par unité de temps est constant

Clear[r,n,t]

SetOptions[Graphics,Axes->True,AxesOrigin->{0,0}, Prolog -> PointSize[0.016],PlotRange->All,AxesLabel->{"t","C/(Subscript[C, 0])"},AspectRatio->Automatic,ImageSize->{250,250},DisplayFunction->$DisplayFunction];

SetOptions[Plot,Axes->True,AxesOrigin->{0,0}, Prolog -> PointSize[0.016],PlotRange->All,AxesLabel->{"t","C/(Subscript[C, 0])"},AspectRatio->Automatic,ImageSize->{250,250},DisplayFunction->$DisplayFunction];

Première étape : suite géométrique de raison r

Comme étudié dans le cadre des intérêts composés, considérons une quantité (Subscript[C, t]) qui, à chaque unité de temps, augmente du taux i

(Subscript[C, 1])=(Subscript[C, 0])+i (Subscript[C, 0])=(Subscript[C, 0])(1+i)=(Subscript[C, 0]) r                où         r=1+i

(Subscript[C, 2])=(Subscript[C, 1])+i (Subscript[C, 1])=(Subscript[C, 1])(1+i)=(Subscript[C, 1]) r =(Subscript[C, 0]) (r^2)

(Subscript[C, 3])=(Subscript[C, 2])+i (Subscript[C, 2])=(Subscript[C, 2])(1+i)=(Subscript[C, 2]) r =(Subscript[C, 0]) (r^3)

La suite des valeurs acquises forme une suite géométrique de raison  r=1+i

(Subscript[C, t])=(Subscript[C, 0])(r^t),                   t ϵ ℕ,                r=1+i

Deuxième étape : fonction exponentielle de base r

Considérons maintenant que la variable t est réelle, c'est-à-dire continue. L'expression suivante est alors une fonction exponentielle de base r

C(t)=(Subscript[C, 0])(r^t),                   t ϵ ℝ

L'exemple numérique est calculé avec le taux i=30 %. Dans le graphique, on a représenté le rapport ((Subscript[C, t])/(Subscript[C, 0])) que l'on interprète ensuite comme étant la quantité C(t) exprimée dans l'unité (Subscript[C, 0]).

Plot[(r^t)/.r->1.3`,{t,-2,8},Epilog->{Table[Point[{n,(r^n)/.r->1.3`}],{n,0,8}]}]

Par définition, le taux d'accroissement par unité de temps est le rapport i=((accroissement par unité de temps)/capital)

((C(t+1)-C(t))/(C(t)))=i

Dans le cas où le taux i est constant, il s'ensuit que

C(t+1)-C(t)=i C(t)

C(t+1)=C(t)+i C(t)

C(t+1)=(1+i)C(t)

C(t+1)=r C(t)             où                r=1+i

Troisième étape : fonction exponentielle de base e

Passons de l'exponentielle de base r à l'exponentielle de base e

C(t)=(Subscript[C, 0])(r^t)

((C(t))/(Subscript[C, 0]))=(r^t)=exp(ln((r^t)))=(e^(t ln(r)))=(e^(λ t))   où   λ= ln(r)

C(t)=(Subscript[C, 0])(e^(λ t)) ,                   t ϵ ℝ,              λ= ln(r)

Cette formulation est équivalente à la précédente

Plot[(E^(λ t))/.λ->Log[1.3`],{t,-2,8}]

Quatrième étape : équation différentielle d'une grandeur C(t) qui varie selon un taux constant

C(t)=(Subscript[C, 0])(e^(λ t))

Calculons la dérivée

C'(t)=(Subscript[C, 0]) λ (e^(λ t))=λ C(t)

On obtient l'équation différentielle

C'(t)=λ C(t)                   où  λ  est une constante

Retenons le résultat :   Proposition TD 1

Si une grandeur C varie selon un taux i constant,
alors la dérivée de C est proportionnelle à C.

Cette équation différentielle possède une infinité de solutions, par exemple,

C(t)=(e^(λ t))
C(t)=2(e^(λ t))
C(t)=π (e^(λ t))

Pour obtenir une solution unique, on ajoute une condition initiale

C(0)=(Subscript[C, 0])           où  (Subscript[C, 0])  est une valeur initiale donnée

Le problème de croissance à taux constant peut maintenant être récrit sous la forme d'une équation différentielle avec condition initiale

C'(t)=λ C(t)  
 C(0)=(Subscript[C, 0])

où λ et (Subscript[C, 0]) sont des constantes données par exemple    λ=ln(1+i).
La solution de ce système est la fonction

C(t)=(Subscript[C, 0])(e^(λ t))

Cinquième étape : interprétation géométrique du taux et de la dérivée

Considérons la fonction exponentielle  C(t)=(Subscript[C, 0])(e^(λ t)).
La droite sécante qui passe par les points (0, C(0)) et  (1, C(1)) a pour pente  ((C(1)-C(0))/(1-0))=((C(1)-C(0))/(C(0)))(Subscript[C, 0])=i (Subscript[C, 0]).
La droite qui est tangente à la courbe en 0 a pour pente  C'(0)=(Subscript[λC, 0])=ln(r)(Subscript[C, 0])=ln(1+i) (Subscript[C, 0]).
Dans le graphique ci-dessous, l'axe des ordonnées est gradué dans l'unité [(Subscript[C, 0])]; en d'autres termes, la fonction dessinée est  ((C(t))/(Subscript[C, 0]))=(e^(λ t)).

Plot[Evaluate[{(E^(Log[1+i] t)),1+i t,1+Log[1+i] t}/.i->0.3`],{t,0,2},Ticks->{Automatic,{{1.3`,"1+i"},{1+Log[1.3`],"1+λ"}}},Epilog->{Dashing[{0.01`}],Line[{{1,0},{1,1.3`},{0,1.3`}}],Line[{{1,1+Log[1.3`]},{0,1+Log[1.3`]}}],Text[1,{0,1}+{-0.1`,0}]},AxesOrigin->{0,1},AspectRatio->1]

Numériquement, les valeurs de  (i, λ)  sont ici

{i,Log[1+i]}/.i->0.3

Les deux valeurs sont voisines car le taux d'accroissement moyen de  C  sur l'intervalle  [t, t+1]  est une approximation de la dérivée de  C  en  t

((C(t+1)-C(t))/1)≈C'(t)

⟹        ((C(t+1)-C(t))/(C(t)))≈((C'(t))/(C(t)))

⟹        ((C(1)-C(0))/(C(0)))≈((C'(0))/(C(0)))

⟹      i≈λ

Question	[sans ordinateur]

Un capital de 10 000 Fr est placé au taux annuel de 3 %.
Ecrivez l'équation différentielle avec condition initiale à laquelle obéit la valeur acquise C(t).

Activité	[sans ordinateur]

Parcourez à nouveau les cinq étapes de la démarche précédente en décrivant une grandeur A(t) qui décroît de moitié en T=12 unités de temps. Imaginez qu'il s'agit, par exemple, de l'activité d'une source radioactive.
En particulier, calculez i, r, et λ en fonction de la demi-vie T.

1.1- TD 2	Phénomènes dont le taux d'accroissement relatif est constant

Notion de taux d'accroissement relatif instantané

Accroissement de la fonction f sur l'intervalle [t, t+Δt]:

Δf=f(t+Δt)-f(t)

Accroissement relatif de la fonction f sur l'intervalle [t, t+Δt]:

((Δf)/f)=((f(t+Δt)-f(t))/(f(t)))

Taux d'accroissement de la fonction f sur l'intervalle [t, t+Δt]:

((Δf)/(Δt))=((f(t+Δt)-f(t))/(Δt))

Taux d'accroissement relatif de la fonction f sur l'intervalle [t, t+Δt]:

(((Δf)/f)/(Δt))=((f(t+Δt)-f(t))/(f(t)Δt))

En particulier, le taux d'accroissement relatif de la fonction f sur un intervalle d'une unité de temps [t, t+1]  est appelé taux d'accroissement par unité de temps et est noté i :

i=((f(t+1)-f(t))/(f(t)))

Taux d'accroissement de la fonction f à l'instant t

f'(t)

Taux d'accroissement relatif de la fonction f à l'instant t

((f'(t))/(f(t)))

Equation différentielle des phénomènes dont le taux d'accroissement relatif est constant

((f'(t))/(f(t)))=λ                 où      λ      est une constante réelle

f'(t)=λ f(t)              où      λ      est une constante réelle

Retenons le résultat :   Proposition TD 2

Si le taux d'accroissement relatif instantané λ d'une fonction est constant,
alors la dérivée de la fonction est proportionnelle à la fonction.

Questions	[sans ordinateur]

Pour les fonctions exponentielles

f(t)=c (r^t),                 g(t)=a (e^(λ t))

montrez que les quantités suivantes sont indépendantes de t :
  a)	le taux d'accroissement relatif sur l'intervalle [t, t+Δt];
  b)	le taux d'accroissement relatif à l'instant t.

1.1- TD 3	Fonction dont la dérivée est proportionnelle à la fonction

Montrons la réciproque des propositions énoncées dans TD 1 et TD 2 :

Si une fonction non nulle est proportionnelle à sa dérivée,
alors la fonction est exponentielle et son taux d'accroissement est constant.

Hypothèses

y'(t)=λ y(t)        où      λ  est constant       et           y(t)≠0  
y(0)=a               où     a≠0

Il s'agit d'une équation différentielle avec condition initale que nous allons résoudre :

((y'(t))/(y(t)))=λ

∫((y'(t))/(y(t)))dt=∫λdt

ln(|y(t)|)=λ t+c           où   c   est une constante réelle

exp(ln|y(t)|)=exp(λ t+c )

|y(t)|=(e^(λ t+c))

|y(t)|=(e^c) (e^(λ t))       où     (e^c)   est une constante positive

y(t)=a (e^(λ t))       où      a   est une constante réelle non nulle  (a=± (e^c))

D'après TD 2, le taux d'accroissement relatif de cette fonction est λ, donc constant.
La condition initiale est aussi vérifiée

y(0)=a (e^0) =a

Questions	[sans ordinateur]

a)	Déterminez une fonction a telle que

a'(t)=a(t)                 et              a(0)=1

b)	Déterminez une fonction b telle que

b'(t)=b(t)                 et              b(0)=2

c)	Déterminez une fonction c telle que

c'(t)=(4/3) c(t)              et              c(0)=(1/8)

d)	Déterminez une fonction d telle que

d'(t)=-(1/4) d(t)             et              d(0)=100

1.1- TD 4	Vitesse de chute avec écoulement laminaire

A l'instant t=0, on lâche un corps de masse m, de volume V, sans vitesse initiale, dans un fluide visqueux homogène de masse volumique ρ.
Durant la chute du corps, on suppose que l'écoulement du fluide autour du corps est laminaire (c'est-à-dire dépourvu de turbulences). Dans ce cas, la force de frottement que subit le corps est proportionnelle à la vitesse. En projection sur un axe vertical orienté vers le bas, la loi de Newton nous donne

(Subscript[F, pesanteur])-(Subscript[F, Archimède])-(Subscript[F, frottement])=m a

m g-V ρ g-k v=m a

Questions	[sans ordinateur]

a)	Etablissez l'équation différentielle avec condition initiale qui définit la vitesse de chute  t↦ v(t).

b)	Montrez que la fonction suivante est solution de l'équation différentielle avec condition initiale :

v(t)=(((m-V ρ) g)/k)(1-(e^(-((k t)/m))))

c)	Montrez que l'équation différentielle possède une solution constante.
	Montrez que cette solution ne vérifie pas la condition initiale.
	Interprétez ce nombre comme vitesse limite de chute.

1.1- TD 5                [Sans ordinateur]

a)	Vérifiez si la fonction donnée est solution de l'équation différentielle avec condition initiale

{({{f'(x)=(f^2)(x)}, {f(0)=1}})                a pour solution       f(x)=(1/(1-x))

b)	Vérifiez si la fonction donnée est solution de l'équation différentielle avec condition initiale

{({{f'(x)=(1/(f(x)))}, {f(0)=1}})                a pour solution       f(x)=(Sqrt[2]) (Sqrt[2+x])

c)	Déterminez la constante d'intégration c afin que la fonction donnée
	soit solution de l'équation différentielle avec condition initiale

{({{f'(x)=(Sqrt[f(x)])}, {f(0)=1}})                a pour solution       f(x)=(1/4) ((x^2)-2 x c+(c^2))

Déterminez aussi l'intervalle sur lequel f est solution

§ 1.2	Résolution numérique d'une équation différentielle ordinaire
	du premier ordre

Interprétation géométrique et résolution graphique

Dans le § 1.1, nous avons considéré une équation différentielle avec condition initiale de la forme

{({{v'=f(t,v)}, {v((Subscript[t, 0]))=(Subscript[v, 0])}})

Que faire lorsque la solution v ne nous est pas donnée ?

Pour distinguer la solution que nous allons construire de la solution donnée dans le § 1.1, utilisons un autre symbole et écrivons le système sous la forme

{({{y'=f(t,y)}, {y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0])}})

où y(t) est la fonction cherchée.
A toute équation différentielle correspond un champ de directions associé à la fonction f. Pour l'exemple du § 1.1, voici la situation:

p=4.;r=1.;m0=8.;q=2.;Clear[f,t,y];
f[t_,y_]:=((p-r (y^2))/(m0-q t));
f[t,y]

tmin=0.;tmax=0.95(m0/q);ymin=0.;ymax=3.;

A tout point du plan, on peut associer le nombre réel

(t,y) ↦  f(t,y)

pentes=Table[NumberForm[{t,y,f[t,y]},2],{t,tmin,tmax,((tmax-tmin)/18.)},{y,ymin,ymax,((ymax-ymin)/13.)}];

Chacun de ces nombres représente la pente que doit avoir la fonction  y(t)  au point  (t, y)

y'=f(t,y)

On représente la pente en chacun de ces points par un segment. Les vecteurs directeurs de ces segments sont

h (({{1}, {f(t,y)}}))

où h est un paramètre pour contrôler la longueur des segments. L'ensemble de ces segments représente un champ de directions (ou champ de pentes) que l'on peut dessiner.

largeurFig=570;
hauteurFig=400;
SetOptions[Graphics,Axes->True,AxesOrigin->{0,0},DisplayFunction->Identity,AxesLabel->{"t\n[s]","y [m/s]"},ImageSize->{largeurFig,hauteurFig},AspectRatio->(hauteurFig/largeurFig),BaseStyle->{FontSize->6}];
nt=Round[(largeurFig/31)];ny=Round[(hauteurFig/31)];
Clear[normeFig];
normeFig[Δt_,Δy_]:=(Sqrt[(((((largeurFig Δt)/(tmax-tmin))))^2)+(((((hauteurFig Δy)/(ymax-ymin))))^2)]);
Clear[segm];
segm[{t_,y_},h_]:=Module[{Δ},Δ=(({1,f[t,y]} h)/(normeFig[1,f[t,y]]));Line[{{t,y}-Δ,{t,y}+Δ}]];
champ=Table[segm[{t,y},(largeurFig/(4 nt))],{t,tmin,tmax,((tmax-tmin)/nt)},{y,ymin,ymax,((ymax-ymin)/ny)}];t0=0;y0=ymin;
initiale={PointSize[0.01`],Point[{t0,y0}]};
Show[Graphics[{champ,initiale}],DisplayFunction->$DisplayFunction]

Le but est de construire une solution graphique de l'équation différentielle qui passe par le point ((Subscript[t, 0]),(Subscript[y, 0])). Il existe une et une seule courbe t ↦y(t) qui passe par le point donné et suit le champ de pentes, c'est-à-dire l'équation différentielle avec condition initiale possède une et une seule solution (voir § 1.1)

Clear[v,t];
v[t_]:=((2 (-(t^2)+8 t))/((t^2)-8 t+32));
courbe=Plot[v[t],{t,tmin,tmax},DisplayFunction->Identity];
Show[Graphics[{champ,initiale}],courbe,DisplayFunction->$DisplayFunction]

Pour montrer comment la solution dépend de la condition initiale, modifions-la.

{({{y'=f(t,y)}, {y(0)=3}})

Off[Solve::"ifun"];
initiale2={PointSize[0.01`],Point[{0,ymax}]};
sol2=DSolve[{y'[t]==f[t,y[t]],y[t0]==ymax},y[t],t];
s2[t_]:=Evaluate[y[t]/.sol2[[1]]];
courbe2=Plot[s2[t],{t,tmin,tmax},DisplayFunction->Identity];
Show[Graphics[{champ,initiale2}],courbe2,DisplayFunction->$DisplayFunction]
On[Solve::"ifun"];

On appelle solution générale l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sans condition initiale

y'=f(t,y)

Off[Solve::"ifun"];
c[t_]={First[y[t]/.DSolve[{y'[t]==f[t,y[t]],y[0]==-1},y[t],t]],First[y[t]/.DSolve[{y'[t]==f[t,y[t]],y[0]==0},y[t],t]],First[y[t]/.DSolve[{y'[t]==f[t,y[t]],y[0]==1},y[t],t]],2,First[y[t]/.DSolve[{y'[t]==f[t,y[t]],y[0]==3},y[t],t]],First[y[t]/.DSolve[{y'[t]==f[t,y[t]],y[0]==4},y[t],t]]};
Plot[Evaluate[c[t]],{t,tmin,tmax},PlotRange->{0,3},AxesLabel->{"t\n[s]","y [m/s]"},ImageSize->{500,400}]
On[Solve::"ifun"];

La solution générale est une famille de fonctions. Poser une condition initiale équivaut à choisir une fonction de cette famille.

Méthode numérique d'Euler

Dans la méthode graphique, pour tracer la courbe, on part du point donné par la condition initiale, puis on trace la courbe de proche en proche en suivant les directions données par le champ de pentes.

Leonhard Euler est né à Bâle en 1707. Il reçut un enseignement mathématique dans la famille Bernoulli. Il mourut à Saint-Petersburg en 1783. Dans la méthode d'Euler, en partant d'un point et de la pente en ce point, on progresse un petit bout en ligne droite. On obtient ainsi un nouveau point à partir duquel on recommence l'opération. Finalement, on obtient une fonction affine par morceaux qui est une approximation de la solution cherchée.

Le point de départ est ((Subscript[t, 0]), (Subscript[y, 0])). En ce point, la pente est  y'((Subscript[t, 0]))=f((Subscript[t, 0]), (Subscript[y, 0])). On va effectuer "un petit pas" dans la direction (({{1}, {f((Subscript[t, 0]), (Subscript[y, 0]))}})).

On s'intéresse à la situation au temps (Subscript[t, 1])=(Subscript[t, 0])+h où h est un petit intervalle de temps donné. Effectuons le déplacement   h (({{1}, {f((Subscript[t, 0]),(Subscript[y, 0]))}})). La nouvelle position ((Subscript[t, 1]), (Subscript[y, 1])) sera telle que

(({{(Subscript[t, 1])-(Subscript[t, 0])}, {(Subscript[y, 1])-(Subscript[y, 0])}}))=h(({{1}, {f((Subscript[t, 0]),(Subscript[y, 0]))}}))

((Subscript[t, 1]),(Subscript[y, 1]))=((Subscript[t, 0])+h,(Subscript[y, 0])+h f((Subscript[t, 0]),(Subscript[y, 0])))

En répétant l'opération (voir Formulaires et tables)

((Subscript[t, 2]),(Subscript[y, 2]))=((Subscript[t, 1])+h,(Subscript[y, 1])+h f((Subscript[t, 1]),(Subscript[y, 1])))

((Subscript[t, k+1]),(Subscript[y, k+1]))=((Subscript[t, k])+h,(Subscript[y, k])+h f((Subscript[t, k]),(Subscript[y, k])))                    k ∈ ℕ

n=16;
h=((tmax-t0)/n);t0=tmin;y0=0;

euler[{t_,y_}]:={t+h,y+h f[t,y]};

Solution numérique d'Euler

solne=NestList[euler,{t0,y0},n]

Graphique de l'approximation d'Euler (fonction affine par morceaux)

ListPlot[solne,PlotRange->{ymin,ymax},ImageSize->{500,300}]

ListPlot[solne,Joined->True,PlotRange->{ymin,ymax},ImageSize->{500,300}]

Comparons la solution exacte (§ 1.1) et la solution numérique approchée, graphiquement et numériquement

Clear[v,t];
v[t_]:=((2 (-(t^2)+8 t))/((t^2)-8 t+32));
Plot[v[t],{t,tmin,tmax},PlotRange->{ymin,ymax},ImageSize->{500,300},Epilog->Point/@solne]

Liste des erreurs :                  (approximation d'Euler en (Subscript[t, i])) - (valeur exacte en (Subscript[t, i]))

{abscEuler,ordEuler}=Transpose[solne];

ordExact=Map[v,abscEuler];

ordErreur=ordEuler-ordExact

Si on prend une plus petite valeur de h, l'erreur tend à diminuer

n=128;
h=((tmax-t0)/n);

solne=NestList[euler,{t0,y0},n];

Plot[v[t],{t,tmin,tmax},PlotRange->{ymin,ymax},ImageSize->{500,300},Epilog->Point/@solne]

Liste des erreurs :                  (approximation d'Euler en (Subscript[t, i])) - (valeur exacte en (Subscript[t, i]))

{abscEuler,ordEuler}=Transpose[solne];

ordExact=Map[v,abscEuler];

ordErreur=ordEuler-ordExact;

Lorsque h tend vers 0 c'est-à-dire pour n->∞, la méthode numérique d'Euler converge vers la solution exacte.

Autres méthodes numériques

Il existe des méthodes numériques plus performantes que la méthode d'Euler, mais leur étude n'est pas abordée ici. Sachez simplement que Mathematica fait appel à des méthodes plus élaborées qui convergent plus vite vers la solution et donnent des réponses plus précises.

Calcul numérique avec Mathematica

Soit à résoudre l'équation différentielle ordinaire du premier ordre avec condition initiale

?NDSolve

soln=NDSolve[{y'[t]==f[t,y[t]],y[t0]==y0},y,{t,tmin,tmax}]

Dans un premier temps, la méthode numérique produit une liste finie d'approximations de la forme {(Subscript[t, i]), (Subscript[y, i])}. Les valeurs intermédiaires sont ensuite calculées par interpolation.

Clear[sn];
sn=y/.soln[[1]]

Plot[sn[t],{t,tmin,tmax},PlotRange->{ymin,ymax},ImageSize->{500,300}]

Estimation numérique de l'erreur maximale:

Max[Table[Abs[sn[t]-v[t]],{t,tmin,tmax,((tmax-tmin)/100)}]]

Travaux dirigés du § 1.2

1.2 - TD 1

On donne l'équation différentielle avec condition initiale

{({{y'=1+(((y-t))^2)}, {y(0)=(1/2)}})

a) 	Résolution graphique
	Dans le rectangle  [0; 1]×[0; 2.5], calculez des valeurs numériques de la fonction

(t,y)↦ 1+(((y-t))^2)

avec Mathematica puis, à la main, représentez le champ de pentes.
	Tracez la solution  t↦y(t) qui vérifie la condition initiale.

b) 	Méthode d'Euler sans ordinateur
	Calculez une solution numérique approchée de l'équation différentielle par la méthode d'Euler
	sur l'intervalle [0; 1], avec le pas h=0.1

c) 	Méthode d'Euler avec ordinateur
	Calculez une solution numérique approchée de l'équation différentielle par la méthode d'Euler
	sur l'intervalle [0; 1], avec le pas h=0.01.

d) 	Résolution numérique avec Mathematica
	Calculez une solution numérique approchée de l'équation différentielle sur l'intervalle [0; 1]
	avec la méthode numérique de Mathematica.

e) 	Vérification
	Montrez que la fonction

y(t)=t+(1/(2-t))

est la solution de l'équation différentielle avec condition initiale.

f) 	Comparaison
	Comparez les cinq solutions qui apparaissent sous les points a, b, c, d et e.

g) 	Calcul de l'erreur d'approximation
	Pour les solutions c et d, calculez l'erreur d'approximation aux abscisses
	t=0, 0.05, 0.1, 0.15, ..., 0.95, 1.

1.2 - TD 2          [facultatif]

a) 	Méthode de Heun		[avec Mathematica]
	Pour résoudre les équations différentielles, une autre méthode numérique est décrite dans les Formulaires et
	tables: la méthode de Heun. Utilisez cette méthode pour résoudre sur l'intervalle [0, 2] l'équation suivante avec
	condition initiale

{({{y'=((4 t)/(y+1))}, {y(0)=1}})

b) 	Méthode Runge-Kutta 4
	Pour résoudre les équations différentielles, une autre méthode numérique est décrite dans les Formulaires et
	tables: la méthode Runge-Kutta 4. Utilisez cette méthode pour résoudre l'équation différentielle précédente
	sur l'intervalle [0, 2].

1.2 - TD 3           [facultatif]

Champ de pentes		[avec Mathematica]
	Dessinez le champ de pentes pour résoudre graphiquement l'équation suivante sur l'intervalle [0, 2]

{({{y'=((4 t)/(y+1))}, {y(0)=1}})

§ 1.3	Résolution analytique d'une équation différentielle ordinaire
	du premier ordre

Equations différentielles séparables

Résolution à partir des tables d'intégrales (voir formulaire)

Soit à résoudre l'équation différentielle avec condition initiale

{({{v'=((4-(v^2))/(8-2 t))}, {v(0)=0}})

On cherche maintenant l'expression analytique de la solution. Changeons la notation pour symboliser la dérivée de v par rapport à la variable t

(dv/dt)=((4-(v^2))/(8-2 t))

Nous allons décrire la méthode de la séparation des variables sans chercher à la justifier.

(dv/(4-(v^2)))=(dt/(8-2 t))

∫(1/(4-(v^2)))dv=∫(1/(8-2 t))dt

Selon les Formulaires et tables, on a

(1/4)ln|((2+v)/(2-v))|=-(1/2)ln∣-2t+8∣+c

ln|((2+v)/(2-v))|=-2ln∣-2t+8∣+4c

La condition initiale v(0)=0 permet de calculer c:

ln(1)=-2ln(8)+4c     ⟹     4c=2ln(8)

ln|((2+v)/(2-v))|=-2ln∣-2t+8∣+2ln(8)=2ln|(8/(-2 t+8))|=2ln|(4/(-t+4))|=ln(((((4/(-t+4))))^2))

En prenant l'exponentielle des deux membres

|((2+v)/(2-v))|=((((4/(-t+4))))^2)

Compte tenu de la condition initiale v(0)=0 et de la solution graphique, on peut se convaincre que 0≤v<2. Sous cette hypothèse,

((2+v)/(2-v))=((((4/(-t+4))))^2)

2+v=(2-v)((((4/(-t+4))))^2)

2+v=2((((4/(-t+4))))^2)-v((((4/(-t+4))))^2)

v+v((((4/(-t+4))))^2)=2((((4/(-t+4))))^2)-2

v(1+((((4/(-t+4))))^2))=2(((((4/(-t+4))))^2)-1)

v=2((((((4/(-t+4))))^2)-1)/(1+((((4/(-t+4))))^2)))

v=2(((4^2)-(((-t+4))^2))/((4^2)+(((-t+4))^2)))

v=2((16-((t^2)-8 t+16))/(16+((t^2)-8 t+16)))

On obtient la réponse finale

v(t)=2((-(t^2)+8 t)/((t^2)-8 t+32))

Activité facultative
Une variante consiste à faire appel à Mathematica pour déterminer les primitives et isoler v.  Si vous désirez voir le calcul, consultez le document suivant:
sur le site  http://www.collegedusud.ch/app/applmaths/
suivez les rubriques  Documents Mathematica / Annexes: Equations differentielles
téléchargez le cahier 1-Equa_diff_Suppl.nb  puis consultez la partie intitulée  § 1.3-S1

Méthode de la séparation des variables

Généralisons. Une équation différentielle ordinaire du premier ordre est à variables séparables lorsqu'elle est de la forme

y'=((g(t))/(h(y)))

(dy/dt)=((g(t))/(h(y)))

Pour la résoudre, on sépare les variables

h(y)dy=g(t)dt

puis on intègre les deux membres

∫h(y)dy=∫g(t)dt

Il reste encore à déterminer la constante d'intégration au moyen de la condition initiale, puis à isoler y.

Autres méthodes analytiques

Il existe des équations dont les variables ne sont pas séparables, par exemple

y'=t y+1

Cette équation est linéaire. Il existe une méthode pour résoudre toutes les équations linéaires. Par contre, il n'existe pas de méthode pour résoudre n'importe quelle équation différentielle. Pratiquement, on ne résoud explicitement que les équations simples. Si l'équation est compliquée, on doit généralement se contenter d'une solution numérique.

Calcul symbolique avec Mathematica

Cas particulier

?DSolve

sol=DSolve[{y'[t]==((4-((y[t])^2))/(8-2 t)),y[0]==0},y[t],t]

s[t_]=y[t]/.sol[[1]]

Durée de la combustion

8-2 t>0                 ⟺             t<4

Vitesse finale (lorsque 95 % de la masse de la fusée est brûlé)

s[3.8]

Cas général

Lorsque l'équation différentielle est simple, il peut être intéressant de disposer de l'expression analytique de la solution.

Clear["Global`*"]

sol=DSolve[{v'[t]==((p-r ((v[t])^2))/(m0-q t)),v[0]==0},v[t],t]

En consultant les Formulaires et tables, on apprend que la fonction tanh est appelée tangente hyperbolique et est définie comme suit:

tanh(x)=(((e^x)-(e^(-x)))/((e^x)+(e^(-x))))

s[t_]=v[t]/.sol[[1]]

Vitesse finale (lorsque 95 % de la masse de la fusée est brûlé)

Simplify[s[0.95 (m0/q)]]

Travaux dirigés du § 1.3

1.3- TD 1	Radioactivité

La radioactivité est une réaction nucléaire spontanée. Un noyau instable se transforme en un autre et un rayonnement α, β ou γ est émis. Par exemple, le radium se transforme en radon et une particule α est émise :

(^226)(Subscript[, 88])Ra         ⟶          (^222)(Subscript[, 86])Rn    +      (^4)(Subscript[, 2])He

Notons N(t) le nombre de noyaux d'une substance radioactive à l'heure t. N(t) est une fonction décroissante. Le nombre de désintégrations par seconde à l'instant t est représenté par la dérivée de N que nous notons (dN/dt). Le nombre de désintégrations par seconde est proportionnel au nombre de noyaux radioactifs existants (voir § 1.1 TD 2). En introduisant une constante de proportionnalité λ appelée constante de désintégration, nous obtenons

(dN/dt)=-λ N

a)	Résolvez l'équation différentielle avec la condition initiale (Subscript[N, 0])=N(0)=nombre initial de noyaux radioactifs.

b)	On appelle demi-vie le temps T nécessaire pour que la moitié des noyaux se soient désintégrés. Etablissez une relation entre T et λ.

c)	On appelle vie moyenne le temps τ nécessaire pour que le nombre initial tombe à  ((Subscript[N, 0])/e). Etablissez une relation entre τ et λ ainsi qu'entre τ et T.
	Pour illustrer le fait que la demi-vie est inférieure à la vie moyenne, prenons un exemple numérique

T≈11
τ≈((5+11+14+21)/4)≃12.75

d)	On appelle activité d'une substance radioactive le nombre de désintégrations par seconde

A(t)=-(dN/dt)=λ N

Sachant que l'activité d'une source tombe de 2000 à 630 désintégrations par seconde en 90 minutes, calculez λ, τ et T.

e)	On sait que

1°	la demi-vie du carbone 14 est de 5568 ans;

2°	en 1950, le charbon de bois retrouvé près des peintures rupestres de Lascaux a une activité de 0.97 désintégration par seconde et par gramme;

3°	ce type de charbon a une activité de 6.68 désintégrations par seconde et par gramme lorsqu'il vient d'être produit (c'est-à-dire à la mort de l'arbre).

A quelle date probable ces peintures ont-elles été réalisées ?

1.3- TD 2	Formule barométrique

Nous cherchons la pression atmosphérique à l'altitude z que nous notons z↦p(z). Désignons par  (Overscript[ρ, -])  la masse volumique moyenne de l'air entre les altitudes z et z+h. D'après la loi de la croissance de la pression

p(z)-p(z+h)=(Overscript[ρ, -]) g h                 ⟹               ((p(z+h)-p(z))/h)=- (Overscript[ρ, -]) g

Passons à la limite  h→0

(dp/dz)=- ρ(z) g

où (dp/dz) désigne la dérivée de p(z). Calculons la masse volumique de l'air ρ(z) en supposant qu'il s'agit d'un gaz parfait et que l'atmosphère est isotherme

p V=n R T             ⟹                ρ=(m/V)=m (p/(n R T))=p (M/(R T))

où  M=(m/n)=masse molaire de l'air.

L'équation différentielle de la fonction p(z) s'écrit alors

(dp/dz)=- p ((M g)/(R T))
 p(0)=(Subscript[p, 0])            où     ((M g)/(R T))=constante

Résolvez cette équation différentielle avec condition initiale, d'abord sans ordinateur, puis avec Mathematica.

1.3- TD 3	Courbe logistique

Un modèle de croissance d'une population

Notons p(t) le nombre d'individus d'une population à l'instant t. Cette fonction obéit à la loi de croissance

p'=a p - b (p^2) 
 p(0)=(Subscript[p, 0])             où   a, b, (Subscript[p, 0])   sont des constantes positives

Commentaires

1.	Ce modèle a été créé en 1837 par le biologiste hollandais Verhulst. La fonction p(t) ainsi définie porte le nom de courbe logistique.

2.	Le premier terme de l'équation différentielle   p'=a  p signifie que l'accroissement de la population est proportionnelle à la population, c'est-à-dire que le taux de croissance est constant. Dans un tel cas, la population croît indéfiniment selon une loi exponentielle (voir § 1.1 TD 3).

3.	Lorsque la population devient importante, les ressources s'épuisent et les individus entrent en compétition. La croissance de la population est réduite du terme - b (p^2) qui est proportionnel au nombre de rencontres de deux individus par unité de temps.

Questions

1.	Déterminez les nombres A et B tels que

(1/(a p - b (p^2)))=(A/p)+(B/(a-b p))

2.	Résolvez l'équation différentielle avec condition initiale, d'abord sans ordinateur, puis avec Mathematica.

3.	Pour la population humaine, le temps étant exprimé en années, admettons que

a≈0.03                      b≈3 (10^(-12          ))

Calculez la population limite, c'est-à-dire

(Subscript[p, ∞])=(lim_(t→∞)) p(t)

4.	Le temps étant exprimé en années, plaçons l'origine du temps au moment où notre planète compte 6 milliards d'habitants

a≈0.03                       b≈3 (10^(-12))                             (Subscript[p, 0])≈6 (10^9)

Calculez la population 50 ans plus tard.
	Représentez graphiquement la fonction p(t) sur l'intervalle [-150,150].

1.3- TD 4	Facultatif

Dans l'exemple du cours, le calcul symbolique avec Mathematica nous a donné la solution

s(t)=(((Sqrt[p]) Tanh[(((Sqrt[p]) (Sqrt[r]) Log[m0]-(Sqrt[p]) (Sqrt[r]) Log[m0-q t])/q)])/(Sqrt[r]))

Montrez que lorsqu'on remplace

p=4;(Subscript[m, 0])=8;q=2;r=1;

on obtient bien

v(t)=2((-(t^2)+8 t)/((t^2)-8 t+32))

Indication

D'après les Formulaires et tables, la fonction tanh est appelée tangente hyperbolique et est définie comme suit:

tanh(x)=(((e^x)-(e^(-x)))/((e^x)+(e^(-x))))

Problèmes de mise en équation du § 1.3

Les 5 petits problèmes qui suivent peuvent être résolus par la méthode de séparation des variables (sauf le problème 2).

Problème 1

a)	Donnez l'équation différentielle de la famille de courbes dont la pente de la tangente en chacun de ses points est proportionnelle à son abscisse.

b)	Résolvez l’équation différentielle générale obtenue en a).

Problème 2

a)	Donnez l'équation différentielle de la famille de courbes dont la pente de la tangente en chacun de ses points est proportionnelle à la somme de ses coordonnées.

b)	Résolvez l’équation différentielle générale obtenue en a). 
	Indication : Lors de la résolution, on vérifiera et on utilisera que la solution y=x-1 est une solution 
	particulière de l’équation différentielle.

Problème 3

a)	Etablissez l'équation différentielle de la famille de courbes dont la tangente en un point P(x;y) est perpendiculaire au segment OP, O étant l’origine du système.

b)	Résolvez l’équation différentielle générale obtenue en a).

Problème 4

Une goutte de pluie sphérique s’évapore à un taux proportionnel à sa surface. Au temps t=0, la goutte possède un volume (Subscript[V, 0]) et le coefficient de proportionnalité vaut k.

a)	Etablissez l'équation différentielle qui lie le rayon r de la goutte et le temps t.

b)	Résolvez l’équation différentielle obtenue en a).

Problème 5

On place un liquide dont la température est de 50°C dans une pièce où la température est maintenue à 20°C. Le taux de refroidissement du liquide est alors proportionnel à la différence de température entre sa propre température et celle de la pièce.

a)	Etablissez l'équation différentielle qui lie la température du liquide et le temps t.

b)	Résolvez l’équation différentielle obtenue en a).

§ 1.4	Equations différentielles linéaires (du premier ordre)

Exemple : vitesse d'une particule en décantation

Considérons un corps en chute libre dans un milieu tel que l'écoulement est laminaire (c'est-à-dire en l'absence de turbulences). Par exemple, dans une cuve de décantation, une particule tombe lentement. Ce corps est soumis à deux forces : 
  *	une force constante dirigée vers le bas      (l'axe est orienté vers le bas)
  		(Subscript[F, 1])= poids apparent = pesanteur - poussée d'Archimède;
  *	une force de frottement proportionnelle à la vitesse    (son sens est opposé à la vitesse)
  		(Subscript[F, 2])=- f v     .
D'après la loi de Newton,

(Subscript[F, 1])-f v=m a

(Subscript[F, 1])-f v=m v'

v'+(f/m)v=((Subscript[F, 1 ])/m)       où    m, (Subscript[F, 1])  et  f   sont des constantes  
					et    t↦v(t)  est  la fonction à déterminer.

Dans le cas où l'on ne donne pas de condition initiale, on dit que l'on cherche la solution générale.

Définitions

L'équation différentielle ordinaire du premier ordre est dite linéaire si elle est de la forme

y'+a(t)y=b(t)

en d'autres termes, dans la forme générale ci-dessous, la fonction f est affine en y

y'=f(t,y)        avec      f(t,y)=-a(t)y+b(t)

par exemple,

y'+ (y/(t+1))=(t^2)

L'équation (différentielle ordinaire du premier ordre) linéaire est dite homogène si la fonction b est nulle:

y'+a(t)y=0

L'équation (différentielle ordinaire du premier ordre) linéaire est dite à coefficients constants si les fonctions  a et b sont constantes

y'+a y=b

Résolution avec Mathematica

Soit à résoudre l'équation différentielle linéaire inhomogène à coefficients constants, avec condition initiale

y'+a y=b
y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0])

Clear[y,t,a, b,t0,y0]

sol=DSolve[{y'[t]+a y[t]==b,y[t0]==y0},y[t],t]

c'est-à-dire

y(t)=((b (e^(a t))+(a (Subscript[y, 0])-b)(e^(a (Subscript[t, 0]))))/(a (e^(a t))))

Vérification :

Clear[y,t];
y[t_]:=((b (E^(a t))+(a y0-b)(E^(a t0)))/(a (E^(a t))))

Simplify[y'[t]+a y[t]-b]

Simplify[y[t0]]

Equation différentielle linéaire homogène

Soit à résoudre l'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants

y'+a y=0

dont on cherche la solution générale  y(t).

Le principe de superposition s'énonce comme suit :
   *	si y(t) est solution, alors, pour toute constante c, la fonction   c y(t)   est aussi solution;
   *	si (Subscript[y, 1])(t), (Subscript[y, 2])(t) sont deux solutions, alors la fonction (Subscript[y, 1])(t)+ (Subscript[y, 2])(t) est aussi solution.

La solution générale forme un espace vectoriel. Nous montrerons que cet espace vectoriel est de dimension 1. (voir "Résolution de l'équation linéaire homogène" ci-dessous). En d'autres termes, l'ensemble des solutions est l'ensemble des multiples d'une solution (Subscript[y, 1]) appelée solution de base

{y(t)|y(t)=(Subscript[c, 1]) (Subscript[y, 1])(t), (Subscript[c, 1]) ϵ ℝ}

On dit aussi que la solution générale s'écrit avec un paramètre. Plus explicitement,

Clear[y,t]

sol=DSolve[{y'[t]+a y[t]==0},y[t],t]

signifie que la solution générale est l'ensemble des multiples de la fonction de base t↦(e^(-a t))

y(t)=(Subscript[c, 1]) (e^(-a t))                  (Subscript[c , 1])ϵ ℝ

Vérification:

Clear[y,t,a,c1];
y[t_]:=c1 (E^(-a t))

y'[t]+a y[t]

La donnée d'une condition initiale y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0]) détermine la valeur de la constante (Subscript[c, 1])

(Subscript[y, 0])=(Subscript[c, 1]) (e^(-a (Subscript[t, 0])))            ⟹         (Subscript[c, 1])=(Subscript[y, 0])(e^(a (Subscript[t, 0])))       et    y(t)=(Subscript[y, 0])(e^(a (Subscript[t, 0]))) (e^(-a t))  =(Subscript[y, 0]) (e^(-a (t-(Subscript[t, 0]))))

Résolution de l'équation linéaire homogène

Soit à résoudre l'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants

y'+a y=0

dont on cherche la solution générale  y(t).

Cette équation étant séparable, nous savons la résoudre

(dy/dt)=-a y

Une solution est y(t)=0. Cherchons les solutions non triviales

(dy/y)=-a dt

∫(1/y)dy=-a ∫1dt

ln|y|=-a t + (Subscript[c, 0])

|y|=(e^(-a t + (Subscript[c, 0])))=(e^(Subscript[c, 0]))(e^(-a t ))

y=(Subscript[c, 1])(e^(-a t ))    où     (Subscript[c, 1])=sign(y)·(e^(Subscript[c, 0]))

Finalement, la constante (Subscript[c, 1]) peut prendre n'importe quelle valeur réelle.

Nous avons ainsi établi que la solution générale de l'équation homogène constitue un espace vectoriel de dimension 1:

(Subscript[y, hom])(t)=(Subscript[c, 1])(e^(-a t ))    où     (Subscript[c, 1])ϵ ℝ

Résolution de l'équation linéaire inhomogène

Soit à résoudre l'équation différentielle linéaire inhomogène à coefficients constants avec condition initiale

{({{y'+a y=b}, {y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0])}})

Théorème

Au lieu de chercher d'emblée l'ensemble des solutions de l'équation inhomogène (Subscript[y, inh]), il suffit d'en déterminer une, n'importe laquelle, indépendamment de toute condition initiale, que nous appelons solution particulière et notons (Subscript[y, part]). A partir de là, il est facile de construire la solution générale (Subscript[y, inh]). En effet, on a

(((Subscript[y, inh])))'+a (Subscript[y, inh])=b
(((Subscript[y, part])))'+a (Subscript[y, part])=b
(((Subscript[y, inh])-(Subscript[y, part])))'+a ((Subscript[y, inh])-(Subscript[y, part]))=0

La différence entre deux solutions de l'équation inhomogène est solution de l'équation homogène associée  y'+a y = 0  dont la solution générale est notée (Subscript[y, hom]).

(Subscript[y, hom])=(Subscript[y, inh])-(Subscript[y, part])

(Subscript[y, inh])=(Subscript[y, hom])+(Subscript[y, part])

En mots: la solution générale de l'équation inhomogène s'obtient en additionnant
   *   la solution générale de l'équation homogène associée
   *   une solution particulière de l'équation inhomogène.

Remarque: on montre également que la somme de deux solutions inhomogènes n'est, en général, pas solution du système.

Interprétation géométrique

La solution générale homogène est représentée par une droite qui passe par l'origine. La solution générale de l'équation homogène est un espace vectoriel de dimension 1 (voir (Subscript[y, hom])=c·(Subscript[y, 1]),  c ∈ ℝ dans la figure qui suit). L'espace vectoriel (Subscript[y, hom]) est engendré par la solution homogène {(Subscript[y, 1])} qui est une base de l'espace vectoriel.

Une solution particulière de l'équation inhomogène est un  (Subscript[y, part]) (voir fig.).

La solution générale inhomogène est représentée par une droite qui est parallèle à la solution homogène. La solution générale de l'équation inhomogène est un espace affine de dimension 1 (voir (Subscript[y, inh]) dans la fig.). L'espace affine (Subscript[y, inh]) est l'image par la translation (Subscript[y, part]) de l'espace vectoriel (Subscript[y, hom]). La solution particulière joue le rôle de point d'attache de (Subscript[y, inh]).

(Subscript[y, inh])=(Subscript[y, part])+c·(Subscript[y, 1])

SetOptions[Arrow,HeadLength->0.03];
o={0,0}; y1={1,(1/2)};ypart={(1/2),(5/4)};yhom=2.5 y1;yinh=ypart+yhom;
Plot[{(1/2)x,(1/2)x+1},{x,-1,4},Epilog->{
Arrow[o,ypart],Arrow[o,y1],Arrow[o,yhom],Arrow[o,yinh],Text["(Subscript[y, part])",(2/3)ypart+{-.15,0}],Text["(Subscript[y, 1])",(2/3)y1+{0,-.15}],Text["(Subscript[y, hom])",(2/3)yhom+{0,-.15}],Text["(Subscript[y, inh])",(2/3)yinh+{0,-.15}]
},ImageSize->{500,300}]

1-ère étape : solution de l'équation homogène

On commence par résoudre l'équation homogène associée y'+a y = 0 dont la solution générale est

(Subscript[y, hom])(t)=(Subscript[c, 1])(e^(-a t )),                      (Subscript[c, 1])ϵ ℝ

2-ème étape : solution particulière inhomogène

On cherche une solution particulière de l'équation inhomogène,  n'importe laquelle, sans se préoccuper de la condition initiale. Dans notre situation, cherchons s'il existe une solution (Subscript[y, part]) qui serait constante

(((Subscript[y, part])))'+a (Subscript[y, part])=b                  où     (((Subscript[y, part])))'=0
(Subscript[y, part])=(b/a)

3-ème étape : solution générale de l'équation inhomogène

D'après un théorème précédent, la solution générale de l'équation inhomogène est

(Subscript[y, inh])=(Subscript[y, hom])+(Subscript[y, part])=(Subscript[c, 1])(e^(-a t ))+(b/a),                                 (Subscript[c, 1])ϵ ℝ

4-ème étape : solution de l'équation inhomogène satisfaisant la condition initiale

Pour chaque condition initiale donnée y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0]), on peut calculer la valeur de la constante d'intégration (Subscript[c, 1])

(Subscript[y, 0])=(Subscript[c, 1])(e^(-a (Subscript[t, 0 ])))+(b/a)            ⟹     (Subscript[c, 1])=(((Subscript[y, 0])-(b/a))/(e^(-a (Subscript[t, 0 ]))))=(((a (Subscript[y, 0])-b)(e^(a (Subscript[t, 0]))))/(a ))

La solution qui satisfait la condition initiale est

(Subscript[y, inh])=(((a (Subscript[y, 0])-b)(e^(a (Subscript[t, 0]))))/(a ))(e^(-a t ))+(b/a)=(((a (Subscript[y, 0])-b)(e^(a (Subscript[t, 0]))))/(a ))(e^(-a t ))+(b/a)=(((a (Subscript[y, 0])-b)(e^(a (Subscript[t, 0]))))/(a (e^(a t ))))+((b (e^(a t )))/(a (e^(a t ))))=((b (e^(a t))+(a (Subscript[y, 0])-b)(e^(a (Subscript[t, 0]))))/(a (e^(a t))))

Travaux dirigés du § 1.4

1.4- TD 1	Loi de refroidissement d'un corps

A l'instant t=0, on plonge un corps de température (Subscript[Θ, 0]) (température initiale) dans un milieu de température (Subscript[Θ, as]) (température asymptotique). Supposons que la température du milieu demeure constante (par exemple, une tasse de café dans une salle à manger). Comment la température du corps  Θ(t)  va-t-elle évoluer de (Subscript[Θ, 0]) vers (Subscript[Θ, as]) ? Avec Newton, admettons que la variation de température est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle du milieu

Θ'=-k(Θ-(Subscript[Θ, as]))            où   k   est une constante positive

Questions

a)	Résolvez l'équation différentielle avec condition initiale.
	De quel type d'équation s'agit-il ?

b)	Sachant que, dans une pièce à 20 °C, une tasse de café passe de 70 °C à 40 °C en 8 minutes,

1°	calculez k;

2°	dessinez la fonction Θ(t);

3°	calculez le temps nécessaire pour que le café passe de 70 °C à 20 °C;

4°	calculez le temps nécessaire pour que le café passe 70 °C à  20 ° C sachant que la température finale est mesurée avec une incertitude    ΔΘ=±0.5 ° C.

c)	Revenons au cas général de la question a). Prouvez que la fonction Θ(t) possède une pseudo-période T telle que pour tout t

Θ(t+T)-(Subscript[Θ, as])=(1/2)(Θ(t)-(Subscript[Θ, as]))

d)	Un client pressé désire que son café-crème refroidisse le plus vite possible. De ce but, vaut-il mieux verser la crème dans le café le plus tôt possible (au moment où il est servi) ou le plus tard possible (juste avant de boire) ?

1.4- TD 2	Un problème de mélange

Enoncé du problème

Une cuve de volume V contient de l'eau salée à la concentration massique (Subscript[c, 0]). A l'instant t=0, on fait arriver une solution de même nature de concentration massique (Subscript[c, e]) avec un débit constant D tandis que du liquide quitte la cuve avec le même débit. Un mélangeur assure l'homogénéité du contenu de la cuve. Déterminez c(t)= concentration massique du sel dans la cuve en fonction du temps.

Mise en équation

Notons Q(t) la quantité de matière dissoute dans la cuve

c(t)= ((Q(t))/V)           ⟹          Q(t)=V c(t)

D'une part, on a

(Overscript[Q, ●])(t)=V (Overscript[c, ●])(t)                                  (I)

D'autre part, 
	D (Subscript[c, e])= masse de sel entrant dans la cuve par unité de temps;
	D  c(t)= masse de sel sortant de la cuve par unité de temps;
d'où

(Overscript[Q, ●])(t)=D (Subscript[c, e])- D c(t)                      (II)

En comparant (I) et (II),

V (Overscript[c, ●])(t)=D (Subscript[c, e])- D c(t)

Il faut donc résoudre l'équation différentielle avec condition initiale

(Overscript[c, ●])(t)=- (D/V) c(t)+ ((D )/V)(Subscript[c, e])  
  c(0)=(Subscript[c, 0])

Questions

a)	Résolvez l'équation différentielle avec condition initiale.
	De quel type d'équation s'agit-il ?

b)	Application numérique

D=4 ((m^3)/s),             V=200 (m^3),             (Subscript[c, e])=0.5 (kg/(m^3)),            (Subscript[c, 0])=2 (kg/(m^3))

1°	dessinez la fonction c(t);

2°	calculez après combien de temps la concentration du sel dans le réservoir tombe à    c=1 (kg/(m^3)).

1.4- TD 3

L'exsanguino-transfusion consiste à changer tout le sang d'une personne. On estime qu'il faut changer trois fois la masse sanguine pour obtenir ce changement.

En utilisant un modèle analogue à celui de TD 2, expliquez le phénomène et estimez la quantité résiduelle de sang inchangé.

Remarque : dans la réalité, le sang en circulation n'est pas homogène; il faudrait développer un modèle plus complexe.

Calcul théorique d'une solution particulière: méthode de Lagrange (variation des constantes)

Soit y' + a(x)y = b(x)

Résolution de l'équation homogène

Soit φ(x) une solution de l'équation homogène associée y' + a(x)y = 0	(1)

Solution de l'équation inhomogène

Alors ψ(x) est une solution de l'équation inhomogène, avec ψ(x) = c(x)φ(x)		(c(x) est la constante intervenant dans la résolution de (1))

ψ '(x) + a(x)ψ(x) = b(x)				⇔
c'(x)φ(x) + c(x)φ '(x) + a(x)c(x)φ(x) = b(x)		⇔	par (1)
c'(x)φ(x) + c(x)(-a(x)φ(x)) + a(x)c(x)φ(x) = b(x)	⇔
c'(x)φ(x) = b(x)					⇔
c(x) = ∫((b(x))/(φ(x)))dx	(théorème premier)

Exemple

y' - (y/x) = (x^2)	avec y une fonction de x

Méthode de Lagrange

Résolution de l'équation homogène associée:

y' - (y/x) = 0						⇔
(dy/dx) = (y/x)							⇔
(1/y)dy = (1/x)dx						⇔
ln|y| = ln|x| + (Subscript[c, 1])					⇔
ln|y| = ln|x| + ln((Overscript[c, ∼]))					⇔
y = (Overscript[c, ∼])x

D'après le théorème premier, c(x) = ∫((x^2)/((Overscript[c, ∼])x))dx = ∫(x/(Overscript[c, ∼]))dx = (1/(2(Overscript[c, ∼])))(x^2) + (Subscript[c, 2])
D'où ψ(x) = c(x)φ(x) = ((1/(2(Overscript[c, ∼])))(x^2)+(Subscript[c, 2]))(Overscript[c, ∼])x = (1/2)(x^3)+ (Subscript[c, 3])x

Exercices de synthèse sur les équations différentielles d’ordre 1

Exercice 1.4-4

Résoudre chacune des équations différentielles suivantes :

a)   ((1 )/(cos(x)))dy-2y dx=0

b)  3y dx+(xy +5x)dy=0

c)  y' = x - 1 + xy - y

Exercice 1.4-5

Résoudre chacune des équations différentielles suivantes (avec condition initiale) :

a)  x dx+y (e^(-x)) dy=0     et   y(0)=1

b) y' (3+4y)+(e^x)-(e^(-x))=0   et   y(0)=1

Exercice 1.4-6

Résoudre chacune des équations suivantes par la méthode de Lagrange:

a)  (dy/dx)+2xy=4x

b)   y'+y=5 sin(2x)

c)   x y'-y=(x-1)(e^x)

§ 1.5	Courbes orthogonales

Définition

Deux familles de courbes sont dites orthogonales lorsqu'en tout point commun à une courbe de chaque famille, les tangentes sont orthogonales; on dit que l'une des familles est formée des trajectoires orthogonales de l'autre.

Exemple

Soit la famille (y^2) = c (x^3)	(c étant le paramètre)		(1)

Calculons la différentielle de chaque terme de l'équation:

2y dy = 3c (x^2) dx					⇔
c = (2/3)((y dy)/(((x )^2)dx))			(2)

(2) ds (1): (y^2) = (2/3)((y dy)/dx)	x				⇔
y = (2/3)(dy/dx)x						⇔
(dy/dx) = (3/2)(y/x)

Géométriquement, x et y sont les coordonnées en chaque point de la courbe, et (dy/dx) est égal à la pente de la tangente en chaque point.

La pente de la courbe orthogonale en chaque point est donnée par la relation différentielle:

(Subscript[m, 1])(Subscript[m, 2]) = -1						⇔
(Subscript[m, 2]) = -(1/(Subscript[m, 1])) = -(1/(dy/dx)) = -((2x)/(3y)) = (dy/dx)

-2x dx = 3y dy						⇔
∫-2xdx = ∫3ydy					⇔
-(x^2) = (3/2)(y^2) + (Subscript[c, 1])						⇔
-2(x^2) = 3(y^2) + (Subscript[c, 2])					⇔
3(y^2) = -2(x^2) + c						⇔
3(y^2) + 2(x^2) = c

Donc la famille de courbes orthogonales est une famille d'ellipses.

Exercice 1.5-1

Déterminer les trajectoires orthogonales de chacune des familles suivantes :

a)(x^2)-(y^2)=c

b)(y^2)-2p x=0

§ 2	Equations différentielles ordinaires
	du deuxième ordre

§ 2.1	Equations différentielles du deuxième ordre
	Exemples et approche qualitative

Oscillateur mécanique entretenu et amorti

Forces:
   -k y = force de rappel du ressort;
  		k est appelé constante du ressort;
    -f v =-f y'= force de frottement dans le cas d'un écoulement laminaire
   		(c'est-à-dire sans turbulences); f est appelé coefficient d'amortissement;
   A sin(Ω t)= force d'excitation où
   		A est appelé amplitude de l'excitation et
   		Ω est appelé vitesse angulaire (ou pulsation) de l'excitateur.
En l'absence d'autres forces, selon la loi de Newton,

-k y-f y'+A sin(Ω t)=m y''

y''+(f/m) y'+((k )/m)y=(A/m) sin(Ω t)

Pour caractériser le mouvement, il faut donner deux conditions initiales, la vitesse initiale et la position initiale:

y'((Subscript[t, 0]))=(Subscript[v, 0])
y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0])

Oscillateur électrique entretenu et amorti

Dans un circuit RLC série, on a
	L I'= chute de tension aux bornes de la bobine;
	R I= chute de tension aux bornes de la résistance ( amortissement);
	(Q/C)= chute de tension aux bornes du condensateur;
	(Subscript[U, 0]) sin(Ω t)= tension aux bornes du générateur.

L I'+R I+(Q/C)=(Subscript[U, 0]) sin(Ω t)

L Q''+R Q'+(Q/C)=(Subscript[U, 0]) sin(Ω t)

Q''+(R/L) Q'+((1 )/(L C))Q=((Subscript[U, 0])/L) sin(Ω t)

Pour caractériser le mouvement, il faut donner deux conditions initiales, le courant initial et la charge initiale:

Q'((Subscript[t, 0]))=(Subscript[I, 0])
Q((Subscript[t, 0]))=(Subscript[Q, 0])

Définitions

Une équation différentielle ordinaire du deuxième ordre est une équation dans laquelle la dérivée seconde y''(t) est exprimée en fonction d'une variable t, de y(t) et de la dérivée première y'(t) :

y''=f(t,y,y')

On cherche la fonction t ↦ y(t) qui vérifie l'équation.
Dans le premier exemple (oscillations mécaniques), la fonction f est

f(t,y,y')=-(f/m) y'-((k )/m)y+(A/m) sin(Ω t)

Les conditions initiales d'une telle équation sont généralement au nombre de deux et de la forme

y'((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 1])
y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0])

L'équation est dite différentielle parce qu'elle contient des dérivées de la fonction inconnue y(t).

On dit que l'équation est ordinaire parce que la fonction cherchée y(t) ne dépend que d'une seule variable t.

On dit que l'équation est du deuxième ordre parce qu'elle contient une dérivée d'ordre deux (c'est-à-dire y''(t)) mais aucune dérivée d'ordre supérieur à deux.

Etude expérimentale qualitative

Au lieu d'être fondée sur des expériences de physique, notre approche qualitative s'appuyera sur des calculs exécutés par Mathematica. Dans une première lecture, il est conseillé de ne pas s'attarder sur la manière de calculer car nous y reviendrons dans les prochains paragraphes. Portez plutôt votre attention sur les propriétés des solutions obtenues comme s'il s'agissait de résultats expérimentaux.

SetOptions[Plot,AxesLabel->{"t","y(t)"},PlotRange->All,ImageSize->{400,300}];

Solution générale

Si on ne donne pas de conditions initiales, l'équation différentielle du deuxième ordre possède une infinitié de solutions qui dépendent de deux paramètres C[1], C[2] appelées constantes d'intégration. Voici un exemple numérique:

p=1; q=17;Ω=5;g0=2;t1=4.3;
Clear[g,y,t]; g[t_]:=g0 Sin[Ω t]

sol=DSolve[y''[t]+2 p y'[t]+q y[t]==g[t], y[t],t]

yg[t_]=Simplify[y[t]/.sol[[1]]]

Solution vérifiant les conditions initiales

Parmi les solutions précédentes, il en existe une et une seule qui vérifie deux conditions initiales données

y0=0;y1=0;Clear[y,t];

sol=DSolve[{y''[t]+2 p y'[t]+q y[t]==g[t],y[0]==y0,y'[0]==y1},y[t] ,t]

yi[t_]=Simplify[y[t]/.sol[[1]]]

Vérifions que  yi[t]  est bien solution du système:

Simplify[yi''[t]+2 p yi'[t]+q yi[t]-g[t]]

yi[0]

yi'[0]

Graphique:

Plot[yi[t],{t,0,t1}]

Dépendance de la condition initiale : état transitoire, état stationnaire

Calculons d'autres solutions de la même équation différentielle mais en partant de conditions initiales différentes:

y0=(1/5);y1=0;
sol=DSolve[{y''[t]+2 p y'[t]+q y[t]==g[t],y[0]==y0,y'[0]==y1},y[t] ,t];
yi1[t_]=Simplify[y[t]/.sol[[1]]]

y0=0;y1=-1;
sol=DSolve[{y''[t]+2 p y'[t]+q y[t]==g[t],y[0]==y0,y'[0]==y1},y[t] ,t];
yi2[t_]=Simplify[y[t]/.sol[[1]]]

Plot[{yi[t],yi1[t],yi2[t]},{t,0,t1}]

Au début du mouvement, la position de l'oscillateur dépend des conditions initiales. Cet intervalle de temps est appelé état transitoire. Après un certain temps, l'oscillateur atteint un état de mouvement qui ne dépend presque plus des conditions initiales; c'est l'état stationnaire.

Une solution particulière

A l'état stationnaire, le mouvement de l'oscillateur est approximativement harmonique. Nous montrerons dans le § 2.3 qu'il existe une solution particulière qui est une sinusoïde :

Clear[yp];
yp[t_]:=(g0/(Sqrt[(((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)]))Sin[Ω t-ArcCos[((q-(Ω^2))/(Sqrt[(((q-(Ω^2)))^2)+ (((2 p Ω))^2)]))]];
yp[t]

Vérifions que cette fonction est une solution de l'équation différentielle

FullSimplify[yp''[t]+2 p yp'[t]+q yp[t]-g[t]]

Plot[{yi[t],yi1[t],yi2[t],yp[t]},{t,0,t1},PlotStyle->{Dashing[{}],Dashing[{}],Dashing[{}],Dashing[{0.01`}]}]

Cette solution correspond à des conditons initiales particulières qui dépendent des données

yp[0]

yp'[0]

Pour estimer la fréquence de cette solution particulière, comparons-la à la fréquence de l'excitateur:

Plot[{g[t],(Sqrt[(((q-(Ω^2)))^2)+(((2 p Ω))^2)]) yp[t]},{t,0,t1},PlotStyle->{Dashing[{}],Dashing[{0.01`}]},AxesLabel->{"t",None}]

On observe que, après une période transitoire, l'excitateur contraint le système à osciller à la même fréquence que lui. Cependant, le mouvement d'oscillation peut être déphasé par rapport au mouvement d'entretien.

Solution générale homogène

En quoi deux solutions générales diffèrent-elles ?

Plot[{yi[t]-yp[t],yi1[t]-yp[t],yi2[t]-yp[t]},{t,0,t1}]

On constate que la différence entre deux solutions particulières tend rapidement vers 0. L'intervalle de temps durant lequel cette différence est non négligeable est appelé phase transitoire.

Du point de vue mathématique

Considérons deux solutions (Subscript[y, 1])(t)  et  (Subscript[y, 2])(t) qui vérifient la même équation différentielle

(Subscript[y, 1])''(t)+2 p (Subscript[y, 1])'(t)+q (Subscript[y, 1])(t)=g(t)
(Subscript[y, 2])''(t)+2 p (Subscript[y, 2])'(t)+q (Subscript[y, 2])(t)=g(t)

Soustrayons les deux équations:

((Subscript[y, 2])''(t)-(Subscript[y, 1])''(t))+2 p (Subscript[y, 2])'(t)-2 p (Subscript[y, 1])'(t)+q (Subscript[y, 2])(t)-q (Subscript[y, 1])(t)=0

(((Subscript[y, 2])-(Subscript[y, 1])))''(t)+2 p(( (Subscript[y, 2])-(Subscript[y, 1])))'(t)+q ((Subscript[y, 2])-(Subscript[y, 1]))(t)=0

Notons   (Subscript[y, hom])=(Subscript[y, 2])-(Subscript[y, 1])  cette différence. On a

(Subscript[y, hom])''(t)+2 p (Subscript[y, hom])'(t)+q (Subscript[y, hom])(t)=0

Les équations pour lesquelles ces soustractions prennent une forme simple sont appelées équations différentielles linéaires. Une définition plus précise sera donnée dans le paragraphe 2.2.

On appelle équation homogène associée l'équation différentielle que l'on obtient en remplaçant g(t) par 0, c'est-à-dire y''+2 p y'+q y= 0. La solution générale de l'équation homogène associée est notée (Subscript[y, hom]). Par opposition, l'équation initiale y''+2 p y'+q y= g(t) dans laquelle g(t)≠0 est appelée équation inhomogène.

Nous venons de démontrer que la différence entre deux solutions de l'équation inhomogène est solution de l'équation homogène.

(Subscript[y, 2])-(Subscript[y, 1])=(Subscript[y, hom])

Réciproquement, si on ajoute une solution homogène (Subscript[y, hom]) à une solution particulière inhomogène (Subscript[y, 1]), on obtient une autre solution inhomogène (Subscript[y, 2])

(Subscript[y, 2])=(Subscript[y, 1])+(Subscript[y, hom])

Enfin, si on dispose d'une solution particulière inhomogène (Subscript[y, 1]), il est possible d'obtenir n'importe quelle autre solution inhomogène (Subscript[y, 2]) en ajoutant à (Subscript[y, 1]) une solution homogène appropriée  (Subscript[y, hom]).

Du point de vue physique

La différence (Subscript[y, hom])=(Subscript[y, 2])-(Subscript[y, 1]) étant une solution de l'équation homogène

(Subscript[y, hom])''(t)+2 p (Subscript[y, hom])'(t)+q (Subscript[y, hom])(t)=0

elle décrit le mouvement d'un système  non entretenu, c'est-à-dire avec g(t)=0.

Si le frottement n'est pas nul (p>0), après une phase transitoire, l'oscillateur non entretenu tend vers l'état de repos (voir figure précédente).

Travaux dirigés du § 2.1

2.1- TD 1	Mouvement rectiligne uniformémemt accéléré

Considérons un corps de masse m soumis à une force constante F. D'après l'équation de Newton, on a

m a=F

Le problème consiste à déterminer l'horaire y(t) de la masse. La cinématique nous enseigne que la dérivée de l'horaire donne la vitesse v(t) et la dérivée de la vitesse donne l'accélération a(t)

y'(t)=v(t)
v'(t)=a(t)	⟹           y''(t)=a(t)

En remplaçant dans l'équation de Newton, on obtient l'équation différentielle

y''(t)=(F/m)                               où          m, F        constants

Nous y ajoutons les deux conditions initiales

y(0)=(Subscript[y, 0])
y'(0)=(Subscript[v, 0])

a)	Résolvez cette équation différentielle ordinaire du deuxième ordre avec conditions initiales.
	(On ne demande pas seulement la réponse mais une méthode pour la déterminer.)

b)	Vérifiez la réponse obtenue (ou la réponse connue).

c)	Résolvez le cas particulier  y''(t)=0  avec les conditions initiales  y(0)=(Subscript[y, 0])  et  y'(0)=(Subscript[v, 0]).

2.1- TD 2	Mouvement harmonique

On se place maintenant dans le cas où l'oscillateur n'est ni amorti (f=0 donc p=0), ni entretenu (g(t)=0). Plus concrètement, considérons une masse m qui peut coulisser sans frottement le long d'une tige horizontale. Cette masse est soumise à l'action d'un ressort de masse négligeable et de raideur k. Appelons y(t) sa position à l'instant t.

L'équation de Newton  F=m a  prend la forme d'une équation différentielle

-k y=m y''

qui se réduit à

y''+q y =0                                    où                  q=(k/m)

Solutions de base

Calculez la valeur de ω pour laquelle les deux fonctions suivantes sont solutions

(Subscript[y, 1])(t)=cos(ω t)

(Subscript[y, 2])(t)=sin(ω t)

Solution générale

Principe de supersposition : montrez que toute combinaison linéaire des deux fonctions de base est solution de l'équation différentielle

y(t)=(Subscript[c, 1])(Subscript[y, 1])(t)+(Subscript[c, 2])(Subscript[y, 2])(t)

Solution vérifiant les conditions initiales

Les deux conditions initiales

y(0)=y0,   y'(0)=v0

déterminent univoquement les constantes (({{(Subscript[c, 1])}, {(Subscript[c, 2])}})).

Autres formes de la solution

Toute solution peut s'écrire sous la forme

y(t)=a cos(ω t-φ)

Pour le montrer, commençons par écrire le vecteur suivant sous la forme polaire

(({{(Subscript[c, 1])}, {(Subscript[c, 2])}}))=a(({{cos(φ)}, {sin(φ)}}))     où        a=(Sqrt[(Subscript[c, 1]^2)+(Subscript[c, 2]^2)])       et
 φ       tel que       cos(φ)=((Subscript[c, 1])/a)   et    sin(φ)=((Subscript[c, 2])/a)

o={0,0};φ=2.;c1=Cos[φ];c2=Sin[φ];c={c1,c2};
Show[Graphics[{Circle[o,1],Line[{o,c}],{Dashing[{0.01,0.02}],Line[{{c1,0},c,{0,c2}}]},Text["(Subscript[c, 2])",{0,c2},{-1,0}],Circle[o,0.2,{0,φ}],Text["φ",0.25{Cos[(φ/2)],Sin[(φ/2)]}],Text["a",(1/2){Cos[.95 φ ],Sin[.95φ]}]},AspectRatio->Automatic,Axes->True,Ticks->{{{c1,"(Subscript[c, 1])"}},None},ImageSize->{500,200}]]

En vertu des formules d'addition d'arcs de la trigonométrie,

y(t)=(Subscript[c, 1])cos(ω t)+(Subscript[c, 2])sin(ω t)=a(cos(φ)cos(ω t)+sin(φ)sin(ω t))=a cos(ω t-φ)

§ 2.2	Equation différentielle linéaire homogène à coefficients constants

Oscillateur mécanique amorti (non entretenu)

Equation différentielle

Forces:
   -k y = force de rappel du ressort;
  		k est appelé constante du ressort;
    -f v =-f y'= force de frottement dans le cas d'un écoulement laminaire
   		(c'est-à-dire sans turbulances); f est appelé coefficient d'amortissement.
En l'absence d'autres forces, selon la loi de Newton,

-k y-f y'=m y''

y''+(f/m) y'+((k )/m)y=0

Pour caractériser le mouvement, il faut donner deux conditions initiales, la vitesse initiale et la position initiale:

y'((Subscript[t, 0]))=(Subscript[v, 0])
y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0])

Etude expérimentale qualitative

En l'absence de force de frottement (f=0), une fois mise en mouvement, la masse oscillera perpétuellement selon un mouvement harmonique. On parle alors de mouvement périodique.

En présence d'une faible force de frottement (par rapport à la force de rappel), l'amplitude des oscillations décroît au fil du temps. On dit alors qu'on se trouve dans le cas des oscillations amorties (ou du mouvement pseudo-périodique).

Enfin, lorsque le frottement est important (par rapport à la force de rappel), la masse ne peut plus osciller. Lorsqu'on écarte la masse de la position d'équilibre, elle y retourne lentement, sans jamais la dépasser. On parle alors de mouvement apériodique.

La discussion de l'équation différentielle va aboutir à ces différents cas.

Oscillateur électrique amorti (non entretenu)

Equation différentielle

Dans un circuit RLC série, on a
	L I'=chute de tension aux bornes de la bobine;
	R I=chute de tension aux bornes de la résistance ( amortissement);
	(Q/C)=chute de tension aux bornes du condensateur.

L I'+R I+(Q/C)=0

L Q''+R Q'+(Q/C)=0

Q''+(R/L) Q'+((1 )/(L C))Q=0

Pour caractériser le mouvement, il faut donner deux conditions initiales, la vitesse initiale et la position initiale:

Q'((Subscript[t, 0]))=(Subscript[I, 0])
Q((Subscript[t, 0]))=(Subscript[Q, 0])

Etude expérimentale qualitative

En l'absence de résistance (R=0), après la fermeture du circuit, la charge oscillera perpétuellement selon un mouvement harmonique. On parle alors de circuit à l'état périodique.

En présence d'une faible résistance, l'amplitude des oscillations décroît au fil du temps. On dit alors qu'on se trouve dans le cas des oscillations amorties (ou du mouvement pseudo-périodique).

Enfin, lorsque la résistance est grande, la charge ne peut plus osciller. A la fermeture du circuit, le condensateur se décharge lentement. On parle alors de mouvement apériodique.

La discussion de l'équation différentielle devra aboutir à ces différents cas.

Définitions

L'équation différentielle ordinaire du deuxième ordre est dite linéaire si elle est de la forme

y''+2 p(t)y'+q(t) y=g(t)

en d'autres termes, dans la forme générale ci-dessous, la fonction f est affine en y et en y'

y''=f(t,y,y')        avec      f(t,y,y')=-2 p(t) y'-q(t)y+g(t)

L'équation (différentielle ordinaire du deuxième ordre) linéaire est dite homogène si la fonction g est nulle:

y''+2 p(t)y'+q(t) y=0

L'équation (différentielle ordinaire du deuxième ordre) linéaire est dite à coefficients constants si les fonctions  p, q  et g sont constantes

y''+2 p y'+q y=g

En particulier, l'équation (différentielle ordinaire du deuxième ordre)  suivante est linéaire homogène à coefficients constants si les fonctions  p et q  sont constantes

y''+2 p y'+q y=0

C'est le cas pour les deux exemples précédents avec, pour l'ocillateur mécanique non excité par une force extérieure

p=(f/(2 m)),              q=(k/m)

et, pour l'ocillateur électrique non excité

p=(R/(2 L)),              q=(1/(L C))

Solution générale de l'équation différentielle linéaire homogène

Soit à résoudre l'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants

y''+2 p y'+q y=0

dont on cherche la solution générale  y(t).

Principe de superposition

Le principe de superposition s'énonce comme suit :
   *	si y(t) est solution, alors, pour toute constante c, la fonction   c y(t)   est aussi solution;
   *	si (Subscript[y, 1])(t), (Subscript[y, 2])(t) sont deux solutions, alors la fonction (Subscript[y, 1])(t)+ (Subscript[y, 2])(t) est aussi solution.

La solution générale forme un espace vectoriel. Cet espace vectoriel est de dimension 2. En d'autres termes, l'ensemble des solutions est l'ensemble des multiples de deux solutions (Subscript[y, 1]), (Subscript[y, 2]) appelées solutions de base

{y(t)|y(t)=(Subscript[c, 1]) (Subscript[y, 1])(t)+(Subscript[c, 2]) (Subscript[y, 2])(t), (Subscript[c, 1]) ϵ ℝ, (Subscript[c, 2]) ϵ ℝ}

On dit aussi que la solution générale s'écrit avec deux paramètres.

Solution générale du cas apériodique :   (p^2)>q

Selon la proposition d'Euler (1739), cherchons les solutions réelles de la forme

y(t)=(e^(λ t))

où λ est une constante à déterminer. Remplaçons dans l'équation différentielle

(((e^(λ t))))''+2 p (((e^(λ t))))'+q (e^(λ t))=0

(λ^2) (e^(λ t))+2 p λ (e^(λ t))+q (e^(λ t))=0

((λ^2)+2 p λ+q)(e^(λ t))=0

λ doit être solution de l'équation caractéristique

(λ^2)+2 p λ+q=0

Dans le cas où le discriminant est positif

Δ=(((2 p))^2)-4 q = 4((p^2)-q)>0       ⟺         (p^2)>q

l'équation caractéristique possède deux solutions

(Subscript[λ, 1])=((-2 p - (Sqrt[4((p^2)-q)]))/2)=-p - (Sqrt[(p^2)-q])

(Subscript[λ, 2])=-p + (Sqrt[(p^2)-q])

ce qui nous donne deux solutions de l'équation différentielle, appelées solutions de base

(Subscript[y, 1])(t)=(e^((-p - (Sqrt[(p^2)-q])) t))

(Subscript[y, 2])(t)=(e^((-p + (Sqrt[(p^2)-q])) t))

La solution générale de l'équation différentielle est l'ensemble des combinaisons linéaires de ces deux solutions

y(t)=(Subscript[c, 1])(e^((-p - (Sqrt[(p^2)-q])) t))+(Subscript[c, 2])(e^((-p +(Sqrt[(p^2)-q])) t))   ,                (Subscript[c, 1]) ϵ ℝ,     (Subscript[c, 2]) ϵ ℝ

Solutions de Mathematica

Clear[y,t,p,q]

sol=DSolve[{y''[t]+2 p y'[t]+q y[t]==0},y[t],t]

signifie que la solution générale est

y(t)=(Subscript[c, 1])  (e^((-p-(Sqrt[(p^2)-q])) t))+(Subscript[c, 2])  (e^((-p+(Sqrt[(p^2)-q])) t))                  où          (Subscript[c , 1])ϵ ℝ,   	(Subscript[c , 2])ϵ ℝ

Remarques

Si le système est apériodique ((p^2)>q), alors le système ne peut pas osciller et l'équation possède deux solutions réelles dont les formules sont données ci-dessus.

Si le système effectue des oscillations amorties  ((p^2)<q), la formule donnée par Mathematica demeure valide mais elle doit être interprétée comme une solution complexe. Nous donnerons les solutions réelles ci-après.

Si le système est à la limite d'apériodicité ((p^2)=q), Mathematica ne donne qu'une solution; il en existe encore une autre que nous donnerons également ci-dessous.

Solution générale du cas des oscillations amorties :   (p^2)<q

Le circuit possède une fréquence propre ν

ω=(Sqrt[q-(p^2)])

ν=(ω/(2 π))=((Sqrt[q-(p^2)])/(2 π))

La solution générale de l'équation différentielle est l'ensemble des combinaisons linéaires de deux solutions de base

y(t)=(e^(-p t))((Subscript[c, 1])cos(ω t)+(Subscript[c, 2])sin(ω t))   ,                (Subscript[c, 1]) ϵ ℝ,     (Subscript[c, 2]) ϵ ℝ

Pour une démonstration complète, consultez le document complémentaire suivant: 
sur le site  http://www.collegedusud.ch/app/applmaths/
suivez les liens  Documents Mathematica / Annexes: Equations differentielles
et téléchargez le cahier 2-2_Equa_diff_suppl.nb

Dans le cours, nous nous contentons de vérifier la solution donnée:

Clear[c1, c2];ω=(Sqrt[q-(p^2)]);
y[t_]:=(E^(-p t))(c1 Cos[ω t]+c2 Sin[ω t])

Simplify[y''[t]+2 p y'[t]+q y[t]]

Il est aussi possible d'écrire la solution sous la forme suivante:

y(t)=a (e^(-p t))cos(ω t-ψ)               a ϵ ℝ,     ψ ϵ ℝ

Solution générale du cas de la limite d'apériodicité :    (p^2)=q

La solution générale de l'équation différentielle est l'ensemble des combinaisons linéaires de ces deux solutions

y(t)=(e^(-p t))((Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]) t)   ,                (Subscript[c, 1]) ϵ ℝ,     (Subscript[c, 2]) ϵ ℝ

Vérification:

Clear[c1, c2];
y[t_]:=(E^(-p t))(c1+c2 t)

Simplify[y''[t]+2 p y'[t]+q y[t]]/.q->(p^2)

On peut montrer que c'est le cas où le mobile revient le plus rapidement à la position de repos. Cette propriété est utilisée dans la construction des galvanomètres.

Solution de l'équation différentielle linéaire homogène avec conditions initiales

Cas apériodique

Clear[y,t,p,q,c1,c2];
y[t_]:=c1  (E^((-p-(Sqrt[(p^2)-q])) t))+c2  (E^((-p+(Sqrt[(p^2)-q])) t  ))

La donnée de conditions initiales   {y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0]), y'((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 1])}   détermine la valeur des constantes (Subscript[c, 1]) et (Subscript[c, 2])

Clear[t0,y0,y1];

es=Solve[{y[t0]==y0, y'[t0]==y1},{c1,c2}]

Voici donc la solution qui satisfait les conditions initiales

Simplify[y[t]/.es[[1]]]

Exemple numérique:

Clear[z];
z[t_]:=(1/(2 (Sqrt[(p^2)-q])))((E^(-(p+(Sqrt[(p^2)-q])) (t-t0))) (-p y0+(Sqrt[(p^2)-q]) y0-y1)+(E^((-p+(Sqrt[(p^2)-q])) (t-t0))) (p y0+(Sqrt[(p^2)-q]) y0+y1))/.{p->5,q->9,t0->0,y0->1,y1->0}

z[t]

Plot[z[t],{t,0,4},ImageSize->{400,300}]

Dans ce cas, on dit que la force de frottement surcompense la force de rappel.

Cas des oscillations amorties

Clear[y,t,c1, c2];ω=(Sqrt[-(p^2)+q]);
y[t_]:=(E^(-p t))(c1 Cos[ω t]+c2 Sin[ω t])

La donnée de conditions initiales y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0]), y'((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 1]) détermine la valeur des constantes (Subscript[c, 1]) et (Subscript[c, 2])

Clear[t0,y0,y1];
es=Solve[{y[t0]==y0, y'[t0]==y1},{c1,c2}]

Voici donc la solution qui satisfait les conditions initiales :

Simplify[y[t]/.es[[1]]]

c'est-à-dire

y(t)=(1/ω)(e^(p (-t+t0))) (ω y0 Cos[ω (t-t0)]+(p y0+y1) Sin[ω (t-t0)])

Exemple numérique:

Clear[z];
z[t_]:=(1/(Sqrt[-(p^2)+q]))((E^(p (-t+t0))) ((Sqrt[-(p^2)+q]) y0 Cos[(Sqrt[-(p^2)+q]) (t-t0)]+(p y0+y1) Sin[(Sqrt[-(p^2)+q]) (t-t0)]))/.{p->1,q->65,t0->0,y0->1,y1->0}

z[t]

Plot[z[t],{t,0,5},PlotRange->All,ImageSize->{400,300}]

Cas de la limite d'apériodicité

Clear[y,t,c1, c2];
y[t_]:=(E^(-p t))(c1 +c2 t)

La donnée de conditions initiales y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0]), y'((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 1]) détermine la valeur des constantes (Subscript[c, 1]) et (Subscript[c, 2])

Clear[t0,y0,y1];
es=Solve[{y[t0]==y0, y'[t0]==y1},{c1,c2}]

Voici donc la solution qui satisfait les conditions initiales :

Simplify[y[t]/.es[[1]]]

Exemple numérique:

Clear[z];
z[t_]:=(E^(p (-t+t0))) (y0+p t y0-p t0 y0+t y1-t0 y1)/.{p->4,q->16,t0->0,y0->1,y1->0}

z[t]

Plot[z[t],{t,0,2.5`},PlotRange->All,ImageSize->{400,300}]

Travaux dirigés du § 2.2

2.2- TD 1	Glissement d'une corde sans frottement

Une corde de longueur ℓ se trouve dans la situation initiale suivante: une partie de longueur ℓ-(Subscript[y, 0]) est posée horizontalement sur un toit tandis qu'une longueur (Subscript[y, 0]) pend dans le vide. A l'instant t=0, on la lâche et, sous l'effet de la pesanteur, elle se met à glisser:

Show[Graphics[{Thickness[0.02`],Line[{{-3,0},{0,0},{0,-2}}],Text["ℓ-y(t)",{-(3/2),-0.2`}],Text["y(t)",{0.2`,-1}],Text["A",{0,-2.2`}]}],PlotRange->All,ImageSize->{300,100},AspectRatio->(1/3)]

Nous négligeons les frottements. Pour décrire la position de la corde, on choisit la position  y(t)  de son extrémité A. Etablissons l'équation différentielle.

La force qui s'exerce sur la corde est la force de pesanteur qui s'exerce sur la partie qui pend. Notons m la masse totale de la corde. La pesanteur vaut

F=(y/ℓ)m g

L'équation de Newton

F=m y''

conduit à l'équation différentielle avec conditions initiales

y''-(g/ℓ)y=0
 y(0)=(Subscript[y, 0]);      y'(0)=0

a)	Résolvez l'équation différentielle avec conditions initiales.

b)	Application numérique : on donne ℓ=4 m, (Subscript[y, 0])= 1 m.
	Combien de temps dure le glissement ?
	Quelle est la vitesse à la fin du glissement ?

2.2- TD 2     Circuit RCL non entretenu

a)	A partir des lois de la physique, expliquez comment on arrive à
	l'équation différentielle du circuit RCL série non entretenu

L I''+R I'+(1/C)I=0

b)	A quelle condition une oscillation amortie se produit-elle ?
	Quelle est alors sa fréquence propre ?

c)	En partant du cours, écrivez la solution générale de l'équation différentielle.

§ 2.3	Equations différentielles linéaires inhomogènes

Soit à résoudre l'équation différentielle linéaire inhomogène avec conditions initiales

{({{y''+2 p y'+q y=g(t)}, {y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0]); y'((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 1])}})

dans le cas où p et q sont des constantes et  g est une sinusoïde g(t)=(Subscript[g, 0]) sin(Ω t)

Principe de superposition

Au lieu de chercher d'emblée l'ensemble des solutions de l'équation inhomogène (Subscript[y, inh]), il suffit d'en déterminer une, n'importe laquelle, indépendamment de toute condition initiale, que nous appelons solution particulière et notons (Subscript[y, part]). A partir de là, il est facile de construire la solution générale (Subscript[y, inh]). En effet, on a

(((Subscript[y, inh])))''+2 p(((Subscript[y, inh])))'+q (Subscript[y, inh])=g
(((Subscript[y, part])))''+2 p(((Subscript[y, part])))'+q (Subscript[y, part])=g
(((Subscript[y, inh])-(Subscript[y, part])))''+2 p(((Subscript[y, inh])-(Subscript[y, part])))'+q ((Subscript[y, inh])-(Subscript[y, part]))=0

La différence entre deux solutions de l'équation inhomogène est solution de l'équation homogène associée   y''+2 p y'+q y= 0 dont la solution générale est notée (Subscript[y, hom]).

(Subscript[y, hom])=(Subscript[y, inh])-(Subscript[y, part])

(Subscript[y, inh])=(Subscript[y, hom])+(Subscript[y, part])

(Subscript[y, inh])=(Subscript[y, hom])+(Subscript[y, part])

En mots: la solution générale de l'équation inhomogène s'obtient en additionnant
   *	 la solution générale de l'équation homogène associée
   *	une solution particulière de l'équation inhomogène.

1-ère étape : solution générale de l'équation homogène

On commence par résoudre l'équation homogène associée y''+2 p y'+q y = 0 dont la solution générale est

(Subscript[y, hom])(t)=(Subscript[c, 1])(Subscript[y, 1])(t)+(Subscript[c, 2])(Subscript[y, 2])(t),                      (Subscript[c, 1])ϵ ℝ,     (Subscript[c, 2])ϵ ℝ

et où (Subscript[y, 1]), (Subscript[y, 2]) sont les deux fonctions de base qui ont été données dans le § 2.2. Leur forme explicite dépend du signe du discrimiant ((p^2)-q) de l'équation caractéristique.

2-ème étape : une solution particulière inhomogène

On cherche une solution particulière de l'équation inhomogène,  n'importe laquelle, sans se préoccuper de la condition initiale. Dans notre situation, cherchons s'il existe une solution (Subscript[y, part]) qui serait une fonction sinusoïdale de même fréquence que l'excitation. Nous admettons cependant qu'elle puissse être déphasée par rapport à l'excitation.

Première forme

(((Subscript[y, part])))''+2 p(((Subscript[y, part])))'+q (Subscript[y, part])=(Subscript[g, 0]) sin(Ω t)

où, pour tenir compte d'un éventuel déphasage,  (Subscript[y, part])(t)=(Subscript[a, 1]) sin(Ω t)+(Subscript[a, 2])cos(Ω t)

( -(Ω^2)(Subscript[a, 1]) sin(Ω t)-(Ω^2)(Subscript[a, 2])cos(Ω t))+2 p (Ω (Subscript[a, 1]) cos(Ω t)-Ω (Subscript[a, 2])sin(Ω t))+q( (Subscript[a, 1]) sin(Ω t)+(Subscript[a, 2])cos(Ω t))=(Subscript[g, 0]) sin(Ω t)

( -(Ω^2) (Subscript[a, 1])-2 p Ω (Subscript[a, 2])+ q (Subscript[a, 1]) -(Subscript[g, 0]))sin(Ω t)+(- (Ω^2) (Subscript[a, 2]) +2 p Ω (Subscript[a, 1]) +q (Subscript[a, 2]))cos(Ω t)=0

p, q, (Subscript[g, 0]) et  Ω   étant donnés, nous déterminons maintenant les nombres (Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2]) tels que l'égalité précédente soit vérifiée à tous les instants t :

{({{-(Ω^2) (Subscript[a, 1])-2 p Ω (Subscript[a, 2])+ q (Subscript[a, 1]) -(Subscript[g, 0])=0}, {- (Ω^2) (Subscript[a, 2]) +2 p Ω (Subscript[a, 1]) +q (Subscript[a, 2])=0}})

{({{(q-(Ω^2) )(Subscript[a, 1])+(-2 p Ω) (Subscript[a, 2])=(Subscript[g, 0])}, {(2 p Ω )(Subscript[a, 1]) +(q -(Ω^2))(Subscript[a, 2])=0}})

Ce système de deux équations linéaires à deux inconnues a pour solution

(Subscript[a, 1])=(((q-(Ω^2)) (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2))),                                (Subscript[a, 2])=((-2 p Ω (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)))

Finalement, une solution particulière est

(Subscript[y, part])(t)=(((q-(Ω^2)) (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)))sin(Ω t)-((2 p Ω (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)))cos(Ω t)

Deuxième forme

Le résultat précédent peut se récrire sous la forme

(Subscript[y, part])(t)=a sin(Ω t-φ)     où          a=amplitude de l'oscillation et
                                                                  φ =déphasage de l'oscillation par rapport à l'excitation

Pour ce faire, calculons les coordonnées polaires  (a, φ)  du vecteur suivant

(({{(((q-(Ω^2)) (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)))}, {((2 p Ω (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)))}}))=a(({{cos(φ)}, {sin(φ)}}))

a est la norme du vecteur. Nous supposons que (Subscript[g, 0])>0.

a=(Sqrt[((((((q-(Ω^2)) (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)))))^2)+(((((2 p Ω (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)))))^2)])=((Subscript[g, 0])/(Sqrt[(((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)]))

φ désigne l'angle entre les vecteurs (({{1}, {0}}))     et      (({{(((q-(Ω^2)) (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)))}, {((2 p Ω (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)))}})):

cos(φ)=((((q-(Ω^2)) (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)))/a)=((q-(Ω^2))/(Sqrt[(((q-(Ω^2)))^2)+ (((2 p Ω))^2)]))
sin(φ)=(((2 p Ω (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)))/a)=((2 p Ω)/(Sqrt[(((q-(Ω^2)))^2)+ (((2 p Ω))^2)]))

Si on suppose p>0 et  Ω>0, le déphasage peut s'écrire

φ=arccos(((q-(Ω^2))/(Sqrt[(((q-(Ω^2)))^2)+ (((2 p Ω))^2)])))

En utilisant la relation trigonométrique

sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)

la solution peut être récrite sous une autre forme :

(Subscript[y, part])(t)=(((q-(Ω^2)) (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)))sin(Ω t)-((2 p Ω (Subscript[g, 0]))/((((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)))cos(Ω t)=(a cos(φ))sin(Ω t)-(a sin(φ))cos(Ω t)=a (sin(Ω t)cos(φ)- cos(Ω t)sin(φ))=a sin(Ω t-φ)

Finalement, une solution particulière est

(Subscript[y, part])(t)=((Subscript[g, 0])/(Sqrt[(((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)]))sin(Ω t-arccos(((q-(Ω^2))/(Sqrt[(((q-(Ω^2)))^2)+ (((2 p Ω))^2)]))))

Pour des données numériques, une vérification de cette dernière formule par Mathematica a été effectuée dans le § 2-1.

Autre méthode de calcul

Il est possible d'alléger les calculs précédents en faisant appel aux propriétés des nombres complexes. Consultez le document complémentaire suivant: 
sur le site  http://www.collegedusud.ch/app/applmaths/
suivez les liens  Documents Mathematica / Annexes: Equations differentielles
téléchargez le cahier 2-3_Equa_diff_suppl.nb et consultez la partie  § 2.3-S1

3-ème étape : solution générale de l'équation inhomogène

D'après un théorème précédent, la solution générale de l'équation inhomogène est de la forme

(Subscript[y, inh])=(Subscript[y, hom])+(Subscript[y, part])=(Subscript[c, 1])(Subscript[y, 1])(t)+(Subscript[c, 2])(Subscript[y, 2])(t)+a sin(Ω t-φ),      (Subscript[c, 1])ϵ ℝ,     (Subscript[c, 2])ϵ ℝ

où l'expression (Subscript[c, 1])(Subscript[y, 1])(t)+(Subscript[c, 2])(Subscript[y, 2])(t) est définie dans le § 2.2 et    a sin(Ω t-φ)   est définie ci-dessus.

La solution générale contient toutes les solutions de l'équation différentielle inhomogène sans se préoccuper des conditions initiales. Un exemple numérique explicite est donné dans le document complémentaire suivant: 
sur le site  http://www.collegedusud.ch/app/applmaths/
suivez les rubriques  Documents Mathematica / Annexes: Equations differentielles
téléchargez le cahier 2-3_Equa_diff_suppl.nb et consultez la partie  § 2.3-S2

4-ème étape : la solution de l'équation inhomogène qui satisfait les conditions initiales

Pour chaque paire de conditions initiales  y((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 0]),  y'((Subscript[t, 0]))=(Subscript[y, 1]), on peut calculer la valeur des constantes d'intégrations (Subscript[c, 1]), (Subscript[c, 2]). Il s'agit simplement de résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Pour alléger notre tâche, utilisons Mathematica

(Subscript[y, inh])=(Subscript[c, 1])(Subscript[y, 1])(t)+(Subscript[c, 2])(Subscript[y, 2])(t)+a sin(Ω t-φ)

Oscillations amorties et entretenues avec conditions initiales, cas   (p^2)<q

ω=(Sqrt[q-(p^2)])

y(t)=(e^(-p t))((Subscript[c, 1])cos(ω t)+(Subscript[c, 2])sin(ω t))+a sin(Ω t-φ)

Exemple numérique

p=2; q=5;Ω=2;g0=3;y0=0;y1=0;
Clear[g]; g[t_]:=g0 Sin[Ω t]
Clear[ c1, c2];
ω=(Sqrt[q-(p^2)]);
yp[t_]:=(g0/(Sqrt[(((q-(Ω^2) ))^2)+(((2 p Ω))^2)]))Sin[Ω t-ArcCos[((q-(Ω^2))/(Sqrt[(((q-(Ω^2)))^2)+ (((2 p Ω))^2)]))]];

y[t_]:=(E^(-p t))(c1 Cos[ω t]+c2 Sin[ω t])  +yp[t];
y[t]

cc12=Solve[{y[0]==y0,y'[0]==y1},{c1,c2}]

ys[t_]:=y[t]/.cc12[[1]];
ys[t]

Vérification

FullSimplify[ys''[t]+2 p ys'[t]+q ys[t]-g[t]]

Simplify[ys[0]]

Simplify[ys'[0]]

Travaux dirigés du § 2.3

2.3- TD 1

Une masse  m  est attachée à un ressort de raideur  k  et libre de se déplacer verticalement. Au repos, la masse se trouve en  y=0. On amène cette masse en  y=(Subscript[y, 0])  et, au temps  t=0, on lâche le système sans vitesse initiale. On néglige la résistance de l'air au déplacement ainsi que la masse du ressort.

a)	Etablir l'équation différentielle de la position  y(t)  de cette masse.

b)	Résoudre l'équation différentielle avec la méthode donnée dans le cours.
	Indication: chercher s'il existe une solution réelle de la forme  y(t) = ...

c)	[Facultatif] Résoudre l'équation différentielle avec la méthode donnée dans le supplément § 2-2 S1
	qui fait appel aux nombres complexes.

2.3- TD 2	Oscillations entretenues non amorties (p=0)

On considère le circuit (idéalisé) LC entretenu par une tension du type  U(t)=(Overscript[U, ∧]) sin(Ω t).

a)	Etablir l'équation différentielle de l'intensité  I(t).

b)	Résoudre l'équation différentielle établie en a)  avec les conditions initiales
	I(0)=(Subscript[I, 0])  et  I'(0)=(Subscript[I, 1]) au moyen de la méthode donnée dans le cours.
	Donner une représentation graphique de  I(t)  pour
	L=100 H,   C=(10^(-4)) F,  Ω=0.1 (s^(-1)),   (Overscript[U, ∧])=3000 V,   (Subscript[I, 0])=0   et   (Subscript[I, 1])=1 (A/s).

c)	[Facultatif]  Résoudre l'équation différentielle établie en a)  avec les conditions initiales
	I(0)=(Subscript[I, 0])  et  I'(0)=(Subscript[I, 1]) au moyen de la méthode donnée dans le supplément § 2-2 S1
	qui fait appel aux nombres complexes.

2.3- TD 3	Glissement d'une corde avec frottement

Une corde de longueur ℓ se trouve dans la situation initiale suivante: une partie de longueur ℓ-(Subscript[y, 0]) est posée horizontalement sur un toit tandis qu'une longueur (Subscript[y, 0]) pend dans le vide. A l'instant t=0, on la lâche et, sous l'effet de la pesanteur, elle se met à glisser:

Show[Graphics[{Thickness[0.02`],Line[{{-3,0},{0,0},{0,-2}}],Text["ℓ-y(t)",{-(3/2),-0.2`}],Text["y(t)",{0.2`,-1}],Text["A",{0,-2.2`}]}],PlotRange->All,ImageSize->{300,100},AspectRatio->(1/3)]

Nous tenons compte du frottement de la partie horizontale sur le toit. On donne le coefficient de frottement de glissement μ.  Etablissons l'équation différentielle.

La force qui s'exerce sur la corde est la force de pesanteur qui s'exerce sur la partie qui pend. Notons m la masse totale de la corde. La pesanteur vaut

(Subscript[F, 1])=(y/ℓ)m g

La force de frottement est égale à μ fois le poids de la partie horizontale

(Subscript[F, 2])=- μ((ℓ-y)/ℓ)m g

L'équation de Newton

(Subscript[F, 1])+(Subscript[F, 2])=m y''

conduit à l'équation différentielle avec conditions initiales

y''-(((1+μ)g)/ℓ)y=-μ g
 y(0)=(Subscript[y, 0]);      y'(0)=0

Résolvez l'équation différentielle avec conditions initiales.

Indication : l'équation différentielle possède une solution particulière constante.

2.3- TD 4          Circuit RCL entretenu (facultatif)

a)	A partir des lois de la physique, expliquez pourquoi l'équation différentielle du circuit RCL série entretenu est

L I''+R I'+(1/C)I=Ω (Subscript[U, 0])cos(Ω t)

Ω désigne ici la fréquence du générateur.

b)	[Avec Mathematica] Montrez que l'équation différentielle admet la solution particulière stationnaire suivante

(Subscript[I, ∞])(t)=((Subscript[U, 0])/(Sqrt[(R^2)+((((1/(Ω C))-Ω L))^2)]))( (((1/(Ω C))-Ω L)/(Sqrt[(R^2)+((((1/(Ω C))-Ω L))^2)]))cos(Ω t)+ (R/(Sqrt[(R^2)+((((1/(Ω C))-Ω L))^2)])) sin(Ω t))

§ 2.4	Problèmes supplémentaires sur les équations différentielles linéaires d’ordre 2

Problème 1

Résoudre l’équation différentielle linéaire du deuxième ordre : y''-y=0 avec les conditions initiales {({{y(0)=0}, {y'(0)=1}})

Problème 2

a) Vérifier que y(x) = x (e^x) est solution de l’équation différentielle y''-y=2(e^x).
b) Résoudre l’équation différentielle linéaire du deuxième ordre : y''-y=2(e^x) avec les conditions initiales {({{y(0)=0}, {y'(0)=1}})

Problème 3

Résoudre l’équation différentielle y''-y=2-(x^2).

Problème 4

Résoudre l’équation différentielle linéaire du deuxième ordre y''-y'+(1/4)y=0 avec les conditions initiales {({{y(0)=2}, {y'(0)=(1/3)}})

Problème 5

Résoudre l’équation différentielle  y''-3y'-4y=2sin(x).