Collège du Sud, Bulle
2-ème année OS PAM
3-ème année OC AM

Applications des mathématiques

Equations

Résolution de l'équation  f(x) = 0  par diverses méthodes

Version pour Mathematica
Edition 2016/2017
Marcel Délèze, Eugène Pasquier
http://applmaths.collegedusud.ch

Introduction

Expressions analytiques et méthodes numériques

Lorsqu'on a affaire à une équation à une seule inconnue, il est toujours possible de passer tous les termes dans le membre de gauche de telle sorte que le membre de droite soit nul. Par exemple,

((3 (x^2)-5 x+6)/(x+1))=(5/x)
⟺                  ((3 (x^2)-5 x+6)/(x+1))-(5/x)=0

Dans ce chapitre, par équation, nous entendons une équation à une inconnue de la forme

f(x)=0

A propos des équations que l'on étudie dans les écoles,  l'ensemble des solutions peut généralement s'exprimer par des expressions analytiques qui représentent des valeurs exactes.
Par exemple, l'équation       (x^2)-5=0       a pour ensemble des solutions     {-(Sqrt[5]),  (Sqrt[5])}.
On dit alors que la solution peut s'exprimer au moyen de fonctions élémentaires (il s'agit de toutes les fonctions usuelles: polynômes, racines, fonctions trigonométriques, exponentielles, logarithmes, etc.).

Cependant, toutes les équations ne sont pas de cette sorte. Beaucoup de problèmes conduisent à des systèmes d'équations dont on ne peut pas décrire l'ensemble des solutions au moyen d'expressions analytiques. Pour les équations polynomiales de degré ≥ 5, Galois (1811-1832) et Abel (1802-1829) ont démontré séparément qu’il n’existe pas de formule faisant usage des racines n-ièmes et donnant les solutions du cas général.

Comme autre exemple, pour l'équation      cos(x)-x=0,      il n'est pas possible d'écrire la solution  x = ...  sous la forme d'une expression analytique. Pour une telle équation, on utilise une méthode numérique qui fournit une suite d'approximations successives (méthode de la bissection, méthode de la sécante, méthode du point fixe, méthode de Newton, etc.). C'est ainsi que, pour l'équation cos(x)-x=0, on peut donner une réponse numérique approchée x ≃ 0.7390851332

Plan du chapitre

Au § 1 Mise en équations, nous allons étudier quelques situations - des problèmes de géométrie et de physique - qui aboutissent à des équations qu'il n'est pas toujours possible de résoudre par l'algèbre élémentaire.

Au § 2 Méthodes numériques, nous résoudrons ces équations sans ordinateur, soit graphiquement, soit au moyen de méthodes numériques telles que la méthode de la bissection, la méthode de la sécante et la méthode du point fixe.

Au § 3 Résolution d'équations avec Mathematica, nous résoudrons des équations avec l'ordinateur.

§ 1	Mise en équations

On demande de mettre en équations chacun des problèmes 1-P 1 à 1-P 5 ci-dessous.

Classez chaque équation obtenue dans l'une des trois catégories suivantes :

I	L'équation peut être résolue par l'algèbre élémentaire (par exemple, une
	équation bicarrée).

II	L'équation pourrait être résolue par radicaux, par exemple, une équation
	polynomiale de degré 3 ou 4. Mais, comme cela réclamerait un effort particulier,
	il peut être plus commode d'utiliser une méthode numérique.

III	La solution de l'équation ne peut pas être exprimée au moyen de fonctions élémentaires 
	(par exemple, cos(x) = x ou bien une équation polynomiale de degré ≥ 5). 
	Une méthode numérique est indispensable.

On résoudra immédiatement les équations de la catégorie I.
Par contre, la résolution des équations des catégories II et III est reportée après l'étude des paragraphes 2 et 3.

Indication :	pour les exercices qui suivent, utilisez les Formulaires et tables.

Problème 1 - P 1	[sans ordinateur]

D'un cône droit, on donne sa hauteur h et son aire totale A. Calculez son rayon r.

Problème 1 - P 2	[sans ordinateur]

D'un triangle rectangle, on connaît son aire A et la projection orthogonale p d'une cathète sur l'hypoténuse. Calculez les grandeurs des trois côtés a, b, c.
Indication : posez comme quatrième inconnue q la projection orthogonale de l’autre cathète sur l’hypothénuse.

Problème 1 - P 3	[sans ordinateur]

Une boule homogène de rayon r, de masse volumique (Subscript[ρ, 1])  flotte sur un liquide de masse volumique  (Subscript[ρ, 0]). (Hypothèse : (Subscript[ρ, 1])<(Subscript[ρ, 0]))
Calculez la hauteur h de la partie émergente.

Indications pour l'exercice 1 - P 3

1.	Le poids du corps    (voir Formulaires et tables)
	Le poids du corps est une force qui est représentée par un vecteur (OverVector[P]) dirigé vers le bas

(OverVector[P])=(({{0}, {-m g}}))      où      g≈9.81 (N/kg)

La masse du corps est égale à la masse volumique du corps multipliée par le volume de la boule

(OverVector[P])=(({{0}, {-(Subscript[ρ, 1]) V g}}))

2.	La poussée d'Archimède    (voir Formulaires et tables)
	La poussée d'Archimède est une force représentée par un vecteur (OverVector[A]) dirigé vers le haut

(OverVector[A])=(({{0}, {A}}))

où  A  est le poids du liquide déplacé, c'est-à-dire le poids en liquide de la partie immergée du corps notée  (Subscript[V, im])

A=(Subscript[ρ, 0]) (Subscript[V, im])g;                                      (OverVector[A])=(({{0}, {(Subscript[ρ, 0]) (Subscript[V, im])g}}))

3.	La condition d'équilibre    (voir Formulaires et tables)
	Pour un corps au repos, la somme des forces qui s'exercent sur lui donne le vecteur nul :

(OverVector[P])+(OverVector[A])=(OverVector[0])

(({{0}, {-(Subscript[ρ, 1]) V g}}))+(({{0}, {(Subscript[ρ, 0]) (Subscript[V, im])g}}))=(({{0}, {0}}))          ⟹        -(Subscript[ρ, 1]) V g+(Subscript[ρ, 0]) (Subscript[V, im])g=0

(Subscript[ρ, 1]) V =(Subscript[ρ, 0]) (Subscript[V, im])

En mots: pour un corps flottant, la masse du corps est égale à la masse du liquide déplacé.
	Faisons apparaître le volume émergeant (Subscript[V, é])

(Subscript[V, im])=V-(Subscript[V, é])

(Subscript[ρ, 1]) V =(Subscript[ρ, 0]) (V-(Subscript[V, é]) )

L'équation d'équilibre prend ainsi la forme

(Subscript[ρ, 0])(Subscript[V, é]) =((Subscript[ρ, 0]) -(Subscript[ρ, 1])) V

Problème 1 - P 4	[sans ordinateur]

On veut graduer une jauge pour une cuve cylindrique horizontale.

On connaît les dimensions de la cuve : son rayon r et sa longueur L.
Notons C sa capacité, V le volume de liquide que contient effectivement la cuve et  t=(V/C)  son taux de remplissage (par exemple t = 0.3 signifie que la cuve est remplie à 30 %).

Sachant que la cuve a un taux de remplissage t donné, calculez la hauteur h du liquide (c'est-à-dire l'endroit où il faut écrire 30 % sur la jauge).

Indication : calculez d'abord l'angle au centre α.

Consigne : Si vous utilisez une formule du Formulaires et tables, démontrez-la!

Exercice 1 - P 5		[sans ordinateur]

On emprunte un montant  c. La banque demande de verser  n  annuités  a.
Calculez le taux d'intérêt  i.

Commentaire
L'annuité est un montant constant  a  que le débiteur doit verser chaque année à la banque. Cette annuité a été calculée de manière que, après exactement  n  années, le débiteur ne doive plus rien à la banque. Autrement dit, la valeur acquise par les annuités payées après n années doit être égale à la valeur acquise par la dette initiale après n années. La première annuité est payée 1 an après la contraction de la dette.

Notations
i 		: taux annuel
r = 1+i 	: facteur de capitalisation
c		: dette contractée
(Subscript[d, k])		: valeur acquise par la dette initiale après k années
(Subscript[A, k])		: valeur acquise par l’ensemble des annuités payées à la banque après k années

Calculer (Subscript[d, 1]),(Subscript[d, 2]),(Subscript[d, 3]) puis en déduire une formule pour (Subscript[d, k]) en utilisant les notations introduites.

Calculer (Subscript[A, 1]), (Subscript[A, 2]), (Subscript[A, 3]), (Subscript[A, 4]) puis déduire une formule pour (Subscript[A, k]) en utilisant les notations introduites.

Réduire le résultat précédent en utilisant le produit remarquable suivant (voir formulaire)
		(r^n) - 1  =  (r-1) (1 + r + (r^2) +  ... + (r^(n-1)))
	duquel on tire
		1 + r + (r^2) + ... + (r^(n-1)) =(((r^n)-1)/(r-1)).

Mettre le problème en équation.