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§ 3	Distributions théoriques
	à une variable discrète

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§ 3.1	Distribution de Bernoulli

Expérience aléatoire

Lançons un dé et notons le nombre de six. Plus précisément, notons
	1 		(succès)		si le dé montre six;
	0		(échec)			dans les autres cas.

On dit que la distribution de cette variable statistique est une distribution de Bernoulli. En faisant l'expérience, on pourrait obtenir un échantillon.

Simulation et nombres pseudo-aléatoires

Les systèmes informatiques sont capables de générer des nombres pseudo-aléatoires qui sont semblables à ceux produits par l'expérience. Voici par exemple comment produire un échantillon de taille n :

n=40;

?BernoulliDistribution

?RandomInteger

bern=BernoulliDistribution[(1/6)];

x=RandomInteger[bern ,n]

Comme avec le dé, une nouvelle exécution donnera probablement un résultat différent:

x=RandomInteger[bern ,n]

Probabilités

Du point de vue théorique, il y a deux modalités

(Subscript[c, 0])=0                                      (Subscript[c, 1])=1

dont probabilités sont respectivement

(Subscript[p, 0])=(5/6)                                      (Subscript[p, 1])=(1/6)

Les probabilités représentent les fréquences théoriques. Pour la distribution de Bernoulli, on note plus courammant

p=(Subscript[p, 1])             =  probabilité de succès
q=1-p=(Subscript[p, 0])= probabilité d'échec

p=N[(1/6)]

Modèle théorique

Le modèle théorique est la distribution construite avec les probabilités.

diagrammeBatons[{0,1},{(5/6),(1/6)},AxesLabel->{None,"Probabilité"}, Ticks->{Range[0,1],Automatic}]

diagrammeCumulatif[{0,1},{(5/6),(1/6)},AxesLabel->{None,"Probabilité cumulée"}, Ticks->{Range[0,1],Automatic}]

Rappelons que, à partir d'un échantillon, on peut calculer la moyenne empirique et la variance empirique avec les formules

m=(Subscript[c, 0])(Subscript[f, 0])+(Subscript[c, 1])(Subscript[f, 1])=0 (Subscript[f, 0])+1 (Subscript[f, 1])=(Subscript[f, 1]) =f=  fréquence de succès

(s^2)=((((Subscript[c, 0])-m))^2)(Subscript[f, 0])+((((Subscript[c, 1])-m))^2)(Subscript[f, 1])=(((0-(Subscript[f, 1])))^2)(Subscript[f, 0])+(((1-(Subscript[f, 1])))^2)(Subscript[f, 1])=(f^2)(1-f)+(((1-f))^2)f=f(1-f)(f+1-f)=f(1-f)

Pour le modèle théorique, on remplace les fréquences empiriques par les probabilités.

La moyenne théorique est appelée espérance mathématique de la variable aléatoire X

E(X)=(Subscript[c, 0])(Subscript[p, 0])+(Subscript[c, 1])(Subscript[p, 1])=p=  probabilité de succès

Pour définir la variance théorique de la variable aléatoire X, on remplace les fréquences par les probabilités et la moyenne empirique par l'espérance mathématique

V(X)=((((Subscript[c, 0])-E(X)))^2)(Subscript[p, 0])+((((Subscript[c, 1])-E(X)))^2)(Subscript[p, 1])=p(1-p)=p q

Loi des  grands nombres de Bernoulli

Pour un échantillon de taille n, la fréquence de succès est

f=N[(1/n)Count[RandomInteger[bern ,n],1]]

Comment les résultats dépendent-ils du nombre d'expériences réalisées ? Organisons une série de simulations
	une 1-ère simulation de 1 expérience,
	une 2-ème simulation de 10 expériences,
	une 3-ème simulation de 100 expériences,
	une 4-ème simulation de 1'000 expériences,
	une 5-ème simulation de 10'000 expériences,
	une 6-ème simulation de 100'000 expériences,
	une 7-ème simulation de 1'000'000 expériences,
et comparons chaque fois la fréquence empirique à la probabilité

tabelle=Table[{(10^t),N[(1/(10^t))Count[RandomInteger[bern ,(10^t)],1]],p},{t,0,6}]

afficheTableau[None,{"n","Fréquences","Probabilité"},tabelle]

On peut observer que, lorsque le nombre d'expériences est faible, il peut y avoir d'importantes différences entre les fréquences empiriques et les probabilités. Par contre, quand le nombre d'expériences est élevé, les fréquences empiriques sont assez proches des probabilités. La loi des grands nombres de Bernoulli affirme que

Dans une série d'épreuves indépendantes, si le nombre d'expériences n tend vers l'infini, alors la suite des fréquences empiriques (Subscript[f, n]) converge en probabilité vers la probabilité p.

L'expression "converge en probabilité" signifie que, pour n'importe quel petit nombre positif ϵ (par exemple ϵ = 0.01), la probabilité que l'erreur dépasse ϵ

P{\[VerticalSeparator](Subscript[f, n])-p\[VerticalSeparator]>ϵ}

tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

La loi des grands nombres justifie la pratique qui consiste, lorsque la probabilité est inconnue et que la taille de l'échantillon est assez grande, d'utiliser la fréquence empirique comme estimateur de la probabilité

(Overscript[p, ∧])=(Subscript[f, n])

Exercice 3.1 - 1      [Sans ordinateur]

Démontrez que, si une variable statistique ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1, alors la moyenne empirique du carré est égale à la moyenne

m((x^2))=m(x)

Démontrez que, si une variable statistique ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1, alors le calcul de la variance empirique peut se réduire à

(s^2)=m(1-m)

Démontrez les propriétés correspondantes de l'espérance mathématique et de la variance théorique

X  de Bernoulli            ⟹                   E((X^2))=E(X)

X  de Bernoulli            ⟹                  V(X)=E(X)(1-E(X))
c'est-à-dire                                     (σ^2)= μ (1-μ)

Exercice 3.1 - 2      [Sans ordinateur]

On a lancé 1000 fois une pièce de monnaie et on a obtenu 515 face.
Calculez la moyenne et l'écart-type de la variable statistique "nombre de face en un jet".

Exercice 3.1 - 3

Pour une variable X uniformément distribuée sur l'intervalle [0; 1[, on considère l'événement 0.4 ≤ X < 0.6.

a)	[Avec Mathematica] Pour un échantillon de taille n, calculez la fréquence m de l'événement
	ainsi que l'écart-type empirique s.

b)	[Sans ordinateur] Déterminez la probabilité de l'événement et l'écart-type théorique.

§ 3.2	Distribution binomiale

Distribution binomiale

La situation de notre exemple consiste en ceci
	On lance 3 fois un dé et on compte le nombre de six obtenus.

Pour ce problème, nous connaissons la distribution théorique et nous pourrons comparer les paramètres empiriques et théoriques.

Le nombre de six obtenu avec un dé est
	1 avec une probabilité de (1/6)
	0 avec une probabilité de (5/6)
La distribution qui lui correspond est appelée distribution de Bernoulli.
La caractéristique des distributions de Bernoulli est de ne prendre que deux valeurs : 0 ou 1.
Les distributions de Bernoulli sont d'un usage fréquent avec le code
	"1 = succès" 	avec la probabilité p
	"0 = échec" 	avec la probabilité q = 1 - p.

Pour 3 dés, il faut sommer 3  variables aléatoires de Bernoulli.
Chaque essai ayant une probabilité p=(1/6) de succès (et q=(5/6) d'échec), on réalise 3 essais indépendants et on compte le nombre de succès. La distribution théorique  est appelée distribution binomiale (3,(1/6)).

Plus généralement, on appelle distribution binomiale (k, p) la somme de k variables aléatoires indépendantes de Bernoulli de même probabilité p.

Simulation (échantillon)

Pour obtenir un échantillon, il faudrait faire une expérience, c'est-à-dire vraiment lancer un grand nombre de fois 3 dés et noter les résultats qui apparaissent.

Les systèmes informatiques sont capables de produire des "nombres pseudo-aléatoires" qui ont les mêmes propriétés que s'ils avaint été "tirés au sort".

de3=BinomialDistribution[3,(1/6)];

Construisons un échantillon de 100 expériences

n=100;
x=RandomInteger[de3,n]

Plus généralement, un échantillon de taille n est une liste de n éléments noté

x={(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]), ..., (Subscript[x, n])}

Paramètres empiriques

La moyenne empirique          m=(Overscript[x, —])=(1/n)(∑_(i=1)^n)(Subscript[x, i])

m=Mean[x]; N[m]

L'écart-type empririque (non corrigé)          s=(Sqrt[(1/n)(∑_(i=1)^n)((((Subscript[x, i])-m))^2)])

s=StandardDeviationMLE[x]; N[s]

Groupement des données

Déterminons la liste des modalités

c=Range[0,3]

que nous noterons ici

c={(Subscript[c, 1]), (Subscript[c, 2]), (Subscript[c, 3]), (Subscript[c, 4])}

Pour chaque valeur, déterminons l'effectif correspondant

effectifs=Map[Count[x,#]&,c]

Dans cet exemple, les effectifs sont notés

{(Subscript[n, 1]), (Subscript[n, 2]), (Subscript[n, 3]), (Subscript[n, 4])}

Voici le tableau des effectifs

afficheTableau[{"Modalités : nombre de six en 3 dés","Effectifs : nombre d'occurences"},None,{c,effectifs}]

Les fréquences

freq=(effectifs/n)

diagrammeBatons[c,freq, AxesLabel->{None,"Fréquence"}, Ticks->{Range[0,3],Automatic}]

Les fréquences cumulées

freqCumulees=Accumulate[freq]

diagrammeCumulatif[c,freq, AxesLabel->{None,"Fréquence cumulée"}]

Modèle statistique (distribution binomiale)

Dans l'exemple "Nombre de personnes par ménage" du § 1.1, la distribution théorique est inconnue.
Dans l'exemple courant "Nombre de six en 3 dés", la distribution théorique est connue. Il s'agit de la distribution binomiale (3,(1/6)).

Variable aléatoire

La variable étudiée ici est X = nombre de six obtenus en lançant 3 fois le dé.
X ne peut prendre que les valeurs {0, 1, 2, 3 }= {(Subscript[c, 0]), (Subscript[c, 1]), (Subscript[c, 2]), (Subscript[c, 3])}

Probabilités

Le calcul des probabilités sera étudié en 4-ème année. Nous nous contentons de donner ici quelques exemples introductifs.
La probabilité d'un événement représente sa "fréquence théorique".

Enumérons d'abord le nombre de cas possibles
	{1,1,1}, {1,1,2}, {1,1,3}, ....,{6,6,5}, {6,6,6}			soit	6*6*6 = 216 cas.

Enumérons maintenant le nombre de cas comportant exactement 0 six:
	{1,1,1}, {1,1,2}, {1,1,3}, ....,{5,5,4},{5,5,5}			soit	5*5*5 = 125 cas.
Tous les cas étant équiprobables, la probabilité d'obtenir exactement 0 six est

(Subscript[p, 0])=P{X=0}=(125/216)

Enumérons maintenant le nombre de cas comportant exactement 1 six:
	{6,1,1}, {6,1,2}, {6,1,3}, ....,{6,5,4}, {6,5,5}			soit	5*5 = 25 cas,
	{1,6,1}, {1,6,2}, {1,6,3}, ....,{5,6,4}, {5,6,5}			soit	5*5 = 25 cas,
	{1,1,6}, {1,2,6}, {1,3,6}, ....,{5,4,6}, {5,5,6}			soit	5*5 = 25 cas,
									soit au total 75 cas.
Tous les cas étant équiprobables, la probabilité d'obtenir exactement 1 six est

(Subscript[p, 1])=P{X=1}=(75/216)

Enumérons maintenant le nombre de cas comportant exactement 2 six:
	{6,6,1}, {6,6,2}, {6,6,3}, {6,6,4}, {6,6,5}			soit	5 cas,
	{6,1,6}, {6,2,6}, {6,3,6}, {6,4,6}, {6,5,6}			soit	5 cas,
	{1,6,6}, {2,6,6}, {3,6,6}, {4,6,6}, {5,6,6}			soit	5 cas,
								soit au total 15 cas.
Tous les cas étant équiprobables, la probabilité d'obtenir exactement 2 six est

(Subscript[p, 2])=P{X=2}=(15/216)

Enumérons maintenant le nombre de cas comportant exactement 3 six:
	{6,6,6}							soit 	1 cas
Tous les cas étant équiprobables, la probabilité d'obtenir exactement 3 six est

(Subscript[p, 3])=P{X=3}=(1/216)

Mathematica connaît cette distribution.
	PDF[distr, (Subscript[c, j])]	signifie Probability Density Function of distr at (Subscript[c, j])

prob=Table[PDF[de3,cj],{cj,0,3}]