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Collège du Sud, Bulle

Applications des mathématiques

Statistique II

Modèles à plusieurs variables
Variables indépendantes

Si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes,
									d'écarts-types respectifs (Subscript[σ, X]), (Subscript[σ, Y]),
					alors l'écart-type de la somme est
									(Subscript[σ, X+Y])=(Sqrt[(Subscript[σ, X]^2)+(Subscript[σ, Y]^2)])

Version pour Mathematica
Edition 2009/2010
Marcel Délèze, Eugène Pasquier
www.collegedusud.ch/app/applmaths/

§ 1	Modèles à plusieurs variables

§ 1.1	Somme de deux variables statistiques	
	m(x+y)=m(x)+m(y) 	
	E(X+Y)=E(X)+E(Y)

Exercice 1.1 - 1

Considérons par exemple des couples dont on mesure les masses respectives. Notons
	(Subscript[x, i])=masse de l'homme du couple numéro i,
	(Subscript[y, i])=masse de la femme du couple numéro i,
	(Subscript[c, i])=((Subscript[x, i]), (Subscript[y, i])) = masses du couple numéro i (il s'agit d'un échantillon bidimentionnel);
	(Subscript[z, i])=(Subscript[x, i])+ (Subscript[y, i]) = somme des masses du couple numéro i.

Etant donné l'échantillon de dimension 2 suivant

c={(75,61),(68,65),(85,62),(72, 78)}

on peut en tirer l'échantillon marginal du poids des hommes (c'est-à-dire une composante de l'échantillon multidimentionnel)

x={75,68,85,72},

l'échantillon marginal du poids des femmes

y={61,65,62,78}

et la somme des masses des couples (remarquez que pour sommer deux échantillons, il est nécessaire qu'ils soient de même taille)

z={136,133,147,150}

Comparez
	la moyenne des sommes m(x+y)=m(z);
	la somme des moyennes m(x)+m(y).

Moyenne empirique d'une somme

Généralisons. La formule suivante est vraie : pour deux échantillons x, y de même taille n, on a

m(x+y)=m(x)+m(y)

En mots :

La moyenne d'une somme est égale à la somme des moyennes

Démonstration

m(x+y)=(1/n)(∑_(i=1)^n)((Subscript[x, i])+(Subscript[y, i]))=(1/n)((∑_(i=1)^n)(Subscript[x, i])+(∑_(i=1)^n)(Subscript[y, i]))=(1/n)(∑_(i=1)^n)(Subscript[x, i])+(1/n)(∑_(i=1)^n)(Subscript[y, i])=m(x)+m(y)

Espérance mathématique d'une somme

On dispose par exemple d'une paire de dés que l'on lance; le premier est rouge et le deuxième est vert. Les variables aléatoires correspondantes sont notées comme suit
	X= nombre obtenu sur le dé rouge,
	Y= nombre obtenu sur le dé vert,
	Z=X+Y= somme des points obtenus sur les deux dés.

Pour chacun des deux dés, on a

p(X=1)=(1/6),               ...,              p(X=6)=(1/6)
p(Y=1)=(1/6),               ...,              p(Y=6)=(1/6)

Calculons l'espérance mathématique du nombre obtenu en lançant un dé

E(X)=1(1/6)+2 (1/6)+3(1/6)+4(1/6)+5(1/6)+6(1/6)=(21/6)=(7/2)
E(Y)=1(1/6)+2 (1/6)+3(1/6)+4(1/6)+5(1/6)+6(1/6)=(21/6)=(7/2)

Calculons maintenant les probabilités associées aux valeurs de la somme

p(Z=2)=p((X,Y)=(1,1))=(1/36)
p(Z=3)=p((X,Y)ϵ{(1,2),(2,1)})=(2/36)
p(Z=4)=p((X,Y)ϵ{(1,3),(3,1),(2,2)})=(3/36)
p(Z=5)=p((X,Y)ϵ{(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)})=(4/36)
p(Z=6)=p((X,Y)ϵ{(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)})=(5/36)
p(Z=7)=p((X,Y)ϵ{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)})=(6/36)
p(Z=8)=p((X,Y)ϵ{(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)})=(5/36)
p(Z=9)=p((X,Y)ϵ{(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)})=(4/36)
p(Z=10)=p((X,Y)ϵ{(4,6),(6,4),(5,5)})=(3/36)
p(Z=11)=p((X,Y)ϵ{(5,6),(6,5)})=(2/36)
p(Z=12)=p((X,Y)=(6,6))=(1/36)

Puis calculons l'espérance mathématique de la somme avec les notations généralisées suivantes:

k=11;(Subscript[z, 1])=2; ...;(Subscript[z, k])=12

(Subscript[p, 1])=P(Z=(Subscript[z, 1]))=(1/36); ...; (Subscript[p, k])=P(Z=(Subscript[z, k]))=(1/36)

E(Z)=(∑_(j=1)^k)(Subscript[z, j])(Subscript[p, j])=2 (1/36)+3(2/36)+4(3/36)+5(4/36)+6(5/36)+
			7(6/36)+8(5/36)+9(4/36)+10(3/36)+11(2/36)+12(1/36)=7

On a les relations

X+Y=Z
E(X)+E(Y)=(7/2)+(7/2)=7=E(Z)

Plus généralement,

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

(sans démonstration)
En mots :

L'espérance d'une somme est égale à la somme des espérances

La relation est aussi valide pour des variables aléatoires X, Y qui ont des distributions différentes.
La relation est aussi valide pour des variables aléatoires X, Y continues.

Exercice 1.1 - 2

Soient (Subscript[X, 1]), (Subscript[X, 2]), ..., (Subscript[X, n]) des variables de Bernoulli de même distribution P{(Subscript[X, j])=0}=p, P{(Subscript[X, j])=1}=1-p=q; notons S=(Subscript[X, 1])+(Subscript[X, 2])+...+(Subscript[X, n]) la variable binomiale (n, p). Calculez l'espérance de S.

§ 1.2	Propriétés non générales

Nous nous intéressons à des propriétés qui - sous certaines hypothèses - sont vérifiées mais qui - en général - ne sont pas valides

m(x y)(Overscript[=, ?])m(x) m(y)                      
v(x+y)(Overscript[=, ?])v(x)+v(y)

En mots : 
	la moyenne d'un produit est-elle égale au produit des moyennes ?
	la variance d'une somme est-elle égale à la somme des variances ?

Exercice 1.2 - 1

Considérons par exemple des couples dont on mesure les masses respectives. Notons
	(Subscript[x, i])=masse de l'homme du couple numéro i,
	(Subscript[y, i])=masse de la femme du couple numéro i,
	(Subscript[c, i])=((Subscript[x, i]), (Subscript[y, i])) = masses du couple numéro i.

Etant donné l'échantillon à deux dimensions suivant

c={{75,61},{68,65},{85,62},{72, 78}};

on peut en tirer l'échantillon marginal du poids des hommes

x={75,68,85,72}

l'échantillon marginal du poids des femmes

y={61,65,62,78}

la somme des masses

x+y={136,133,147,150}

et le produit des masses (remarquez que pour multiplier deux échantillons, il est nécessaire qu'ils soient de même taille)

x y={4575,4420,5270,5616}

a)	Comparez la moyenne des produits m(x y) avec le produit des moyennes m(x) m(y).

b)	Comparez la variance de la somme v(x+y) avec la somme des variances v(x) +v(y).

Covariance

En général, la moyenne du produit n'est pas égale au produit des moyennes. La différence est appelée covariance:

cov(x,y)=m(x y)-m(x)m(y)

Variance de la somme et somme des variances

En général, la variance de la somme n'est pas égale à la somme des variances.

Espérance du produit et variance théorique d'une somme

Pour les valeurs théoriques, on a une situation semblable. En général, on doit distinguer, d'une part

l'espérance du produit                    E(X Y)
le produit des espérances               E(X) E(Y)

d'autre part

la variance d'une somme                 V(X+ Y)
la somme des variances                    V(X)+ V(Y)

Nous illustrerons ces situations par des exemples dans les paragraphes 2.2, 2.3 et 2.4.

Exercice 1.2 - 2   [Avec Mathematica]

Directive : pour cet exercice, on pourra utiliser le package local Statistique` où est définie la fonction StandardDeviationMLE[...].

Pour télécharger les données numériques: accédez au site  http://www.collegedusud.ch/app/applmaths/
	suivez les liens  Documents Mathematica / Annexes: Statistiques II
	et téléchargez le cahier  1-2-2_donnees_exercice.nb

Calculez	m((x^2))    et       (m^2)(x)
et comparez	(s^2)(x)     et       m((x^2))-(m^2)(x).

Exercice 1.2 - 3   [Sans ordinateur]

Données : on dispose de deux lots d'ampoules électriques, 10 ampoules provenant d'un producteur A et 10 ampoules provenant du producteur B. On mesure les durées de vie de chaque ampoule. Les durées de vie sont exprimées en heures et arrondies à l'entier.

a={1370,1347,1677,1832,1297,1008,2018,2117,1260,1019};

b={792,1039,1583,2004,1184,1683,1975,1690,1712,1684};

Les échantillons précédents sont à interpréter comme suit:
	la première ampoule du producteur A a une durée de vie de 1370 h,
	la deuxième ampoule du producteur A a une durée de vie de 1347 h,
	....
	la première ampoule du producteur B a une durée de vie de 792 h,
	la deuxième ampoule du producteur B a une durée de vie de 1039 h,
	...

Pour interpréter la somme des deux échantillons, on peut imaginer la procédure suivante:
	on dispose de 10 supports de lampes;
	au départ, chaque support est muni d'une ampoule du producteur A
	et, en réserve, d'une ampoule du producteur B.
	Pendant combien d'heures chaque support de lampe pourra-t-il éclairer ?

z=a+b

Directives : pour cet exercice, il est demandé d'utiliser des formules explicites pour calculer les moyennes et les écart-types. En particulier, on n'utilisera ni le package Statistics`DescriptiveStatistics`, ni les fonctions statistiques préprogrammées de votre calculatrice de poche.

a)	Calculez	les moyennes		m(a),       m(b),     m(a+b)
			les écart-types		s(a),      s(b),       s(a+b)

b)	Comparez	les moyennes		m(a)+m(b)         et            m(a+b)
			les écart-types		s(a)+s(b)            et            s(a+b)
			les variances		v(a)+v(b)        et            v(a+b)

Exercice 1.2 - 4   [Sans ordinateur]

Jeu A:	On mise 5 Fr. On lance une pièce de monnaie.
	Sur pile, on gagne 8 Fr; sur face 1 Fr (gains bruts).
	Notons A la variable aléatoire du gain net d'une partie.

Jeu B:	On mise 8 Fr. On lance un dé.
	On gagne 2 Fr par point indiqué par le dé (gain brut).
	Notons B la variable aléatoire du gain net d'une partie.

Jeu C:	On mise 13 Fr. On lance une pièce de monnaie et un dé.
	Sur pile, on gagne 8 Fr; sur face 1 Fr; de plus, 
	on gagne 2 Fr par point indiqué par le dé (gains bruts).
	Notons C la variable aléatoire du gain net d'une partie (il s'agit de la somme des jeux A et B).

Calculez
	E(C)   et  V(C).
	Comparez les espérances mathématiques      E(A+B)       et    E(A)+E(B).
	Comparez  les variances 		           V(A+B)    et    V(A)+V(B).